Prakalkulus Contoh

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{21} y = \frac{221}{2}$ , $x - \frac{1}{2} y = - 84$

Langkah 1

Nyatakan sistem persamaan tersebut dalam bentuk matriks.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$

Langkah 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Write $[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{21} \\ 1 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

Langkah 2.2

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2}) - \frac{1}{21}$

Langkah 2.3

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{1}{21}$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{1}{4} - \frac{1}{21}$

Langkah 2.3.2

Untuk menuliskan $- \frac{1}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{21}{21}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21}$

Langkah 2.3.3

Untuk menuliskan $- \frac{1}{21}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{21}{21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 2.3.4

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $84$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{21}{21}$ .

$- \frac{21}{4 \cdot 21} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 2.3.4.2

Kalikan $4$ dengan $21$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{1}{21} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 2.3.4.3

Kalikan $\frac{1}{21}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{21 \cdot 4}$

Langkah 2.3.4.4

Kalikan $21$ dengan $4$ .

$- \frac{21}{84} - \frac{4}{84}$

Langkah 2.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 21 - 4}{84}$

Langkah 2.3.6

Kurangi $4$ dengan $- 21$ .

$\frac{- 25}{84}$

Langkah 2.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{25}{84}$

$D = - \frac{25}{84}$

Langkah 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Langkah 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{221}{2} & \frac{1}{21} \\ - 84 & - \frac{1}{2} \end{array} |$

Langkah 4.2

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{221}{2} (- \frac{1}{2}) - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Kalikan $\frac{221}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1.1

Kalikan $\frac{221}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{221}{2 \cdot 2} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Langkah 4.2.2.1.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- \frac{221}{4} - (- 84 (\frac{1}{21}))$

Langkah 4.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $21$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.2.1

Faktorkan $21$ dari $- 84$ .

$- \frac{221}{4} - (21 (- 4) \frac{1}{21})$

Langkah 4.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{221}{4} - (21 \cdot - 4 \frac{1}{21})$

Langkah 4.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{221}{4} - - 4$

Langkah 4.2.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$- \frac{221}{4} + 4$

Langkah 4.2.2.2

Untuk menuliskan $4$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{221}{4} + 4 \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 4.2.2.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{221}{4} + \frac{4 \cdot 4}{4}$

Langkah 4.2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 221 + 4 \cdot 4}{4}$

Langkah 4.2.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.5.1

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{- 221 + 16}{4}$

Langkah 4.2.2.5.2

Tambahkan $- 221$ dan $16$ .

$\frac{- 205}{4}$

Langkah 4.2.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{205}{4}$

$D_{x} = - \frac{205}{4}$

Langkah 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Langkah 4.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{205}{4}$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- \frac{205}{4}}{- \frac{25}{84}}$

Langkah 4.5

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x = \frac{\frac{205}{4}}{\frac{25}{84}}$

Langkah 4.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{205}{4} \cdot \frac{84}{25}$

Langkah 4.7

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Faktorkan $5$ dari $205$ .

$x = \frac{5 (41)}{4} \cdot \frac{84}{25}$

Langkah 4.7.2

Faktorkan $5$ dari $25$ .

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Langkah 4.7.3

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{5 \cdot 41}{4} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Langkah 4.7.4

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{84}{5}$

Langkah 4.8

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Faktorkan $4$ dari $84$ .

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 (21)}{5}$

Langkah 4.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{41}{4} \cdot \frac{4 \cdot 21}{5}$

Langkah 4.8.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 41 (\frac{21}{5})$

Langkah 4.9

Gabungkan $41$ dan $\frac{21}{5}$ .

$x = \frac{41 \cdot 21}{5}$

Langkah 4.10

Kalikan $41$ dengan $21$ .

$x = \frac{861}{5}$

Langkah 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} \frac{221}{2} \\ - 84 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{221}{2} \\ 1 & - 84 \end{array} |$

Langkah 5.2

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 84 - \frac{221}{2}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 84$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (- 42)) - \frac{221}{2}$

Langkah 5.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 42) - \frac{221}{2}$

Langkah 5.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 42 - \frac{221}{2}$

Langkah 5.2.2.2

Untuk menuliskan $- 42$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$- 42 \cdot \frac{2}{2} - \frac{221}{2}$

Langkah 5.2.2.3

Gabungkan $- 42$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 42 \cdot 2}{2} - \frac{221}{2}$

Langkah 5.2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 42 \cdot 2 - 221}{2}$

Langkah 5.2.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.5.1

Kalikan $- 42$ dengan $2$ .

$\frac{- 84 - 221}{2}$

Langkah 5.2.2.5.2

Kurangi $221$ dengan $- 84$ .

$\frac{- 305}{2}$

Langkah 5.2.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{305}{2}$

$D_{y} = - \frac{305}{2}$

Langkah 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Langkah 5.4

Substitute $- \frac{25}{84}$ for $D$ and $- \frac{305}{2}$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- \frac{305}{2}}{- \frac{25}{84}}$

Langkah 5.5

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$y = \frac{\frac{305}{2}}{\frac{25}{84}}$

Langkah 5.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{305}{2} \cdot \frac{84}{25}$

Langkah 5.7

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Faktorkan $5$ dari $305$ .

$y = \frac{5 (61)}{2} \cdot \frac{84}{25}$

Langkah 5.7.2

Faktorkan $5$ dari $25$ .

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Langkah 5.7.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{5 \cdot 61}{2} \cdot \frac{84}{5 \cdot 5}$

Langkah 5.7.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{84}{5}$

Langkah 5.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Faktorkan $2$ dari $84$ .

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 (42)}{5}$

Langkah 5.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{61}{2} \cdot \frac{2 \cdot 42}{5}$

Langkah 5.8.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = 61 (\frac{42}{5})$

Langkah 5.9

Gabungkan $61$ dan $\frac{42}{5}$ .

$y = \frac{61 \cdot 42}{5}$

Langkah 5.10

Kalikan $61$ dengan $42$ .

$y = \frac{2562}{5}$

Langkah 6

Sebutkan penyelesaian untuk sistem persamaan.

$x = \frac{861}{5}$

$y = \frac{2562}{5}$