Prakalkulus Contoh

$x^{2} - y^{2} - 4 y = 21$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari hiperbola.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan kuadrat dari $- y^{2} - 4 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Langkah 1.1.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.1.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

Langkah 1.1.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

Langkah 1.1.3.2.1.2

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{- 2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 2$

Langkah 1.1.3.2.2

Tulis kembali $- 1 \cdot - 2$ sebagai $- - 2$ .

$d = - - 2$

Langkah 1.1.3.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$d = 2$

Langkah 1.1.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.1.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.1

Hapus faktor persekutuan dari ${(- 4)}^{2}$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.1.1

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.1.4.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.1.4.2.1.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.1.4.2.1.1.4

Kalikan $4^{2}$ dengan $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.1.4.2.1.1.5

Faktorkan $4$ dari $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Langkah 1.1.4.2.1.1.6

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Langkah 1.1.4.2.1.2

Kalikan $- (- 1 \cdot 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$e = 0 - - 4$

Langkah 1.1.4.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Langkah 1.1.4.2.2

Tambahkan $0$ dan $4$ .

$e = 4$

Langkah 1.1.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $- {(y + 2)}^{2} + 4$ .

$- {(y + 2)}^{2} + 4$

Langkah 1.2

Substitusikan $- {(y + 2)}^{2} + 4$ untuk $- y^{2} - 4 y$ dalam persamaan $x^{2} - y^{2} - 4 y = 21$ .

$x^{2} - {(y + 2)}^{2} + 4 = 21$

Langkah 1.3

Pindahkan $4$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $4$ ke kedua sisinya.

$x^{2} - {(y + 2)}^{2} = 21 - 4$

Langkah 1.4

Kurangi $4$ dengan $21$ .

$x^{2} - {(y + 2)}^{2} = 17$

Langkah 1.5

Bagi setiap suku dengan $17$ untuk membuat sisi kanan sama dengan satu.

$\frac{x^{2}}{17} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{17} = \frac{17}{17}$

Langkah 1.6

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{17} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{17} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari hiperbola. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan verteks dan asimtot hiperbola tersebut.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari hiperbola ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $h$ mewakili x-offset dari titik asal, $k$ mewakili y-offset dari titik asal, $a$ .

$a = \sqrt{17}$

$b = \sqrt{17}$

$k = - 2$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat hiperbola mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, - 2)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(\sqrt{17})}^{2} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali ${\sqrt{17}}^{2}$ sebagai $17$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{17}$ sebagai $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{17^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{17^{1} + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{17 + {(\sqrt{17})}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{17}}^{2}$ sebagai $17$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{17}$ sebagai $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{17 + {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{17 + 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{17 + 17^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{17 + 17^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{17 + 17^{1}}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{17 + 17}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $17$ dan $17$ .

$\sqrt{34}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(\sqrt{17}, - 2)$

Langkah 6.3

Verteks kedua dari hiperbola dapat ditemukan dengan mengurangi $a$ dari $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- \sqrt{17}, - 2)$

Langkah 6.5

Verteks dari suatu hiperbola mengikuti bentuk $(h \pm a, k)$ . Hiperbola mempunyai dua verteks.

$(\sqrt{17}, - 2), (- \sqrt{17}, - 2)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari hiperbola dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(\sqrt{34}, - 2)$

Langkah 7.3

Titik fokus kedua dari hiperbola dapat dicari dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.4

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya, lalu sederhanakan.

$(- \sqrt{34}, - 2)$

Langkah 7.5

Titik api dari hiperbola mengikuti bentuk dari $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hiperbola memiliki dua titik api.

$(\sqrt{34}, - 2), (- \sqrt{34}, - 2)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{17})}^{2} + {(\sqrt{17})}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Tulis kembali ${\sqrt{17}}^{2}$ sebagai $17$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{17}$ sebagai $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{17^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Langkah 8.3.1.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Langkah 8.3.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{17^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Langkah 8.3.1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{17^{1} + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Langkah 8.3.1.1.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{17 + {\sqrt{17}}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Langkah 8.3.1.2

Tulis kembali ${\sqrt{17}}^{2}$ sebagai $17$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{17}$ sebagai $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{17 + {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{17}}$

Langkah 8.3.1.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{17 + 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{17}}$

Langkah 8.3.1.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{17 + 17^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{17}}$

Langkah 8.3.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{17 + 17^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{17}}$

Langkah 8.3.1.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{17 + 17^{1}}}{\sqrt{17}}$

Langkah 8.3.1.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{17 + 17}}{\sqrt{17}}$

Langkah 8.3.1.3

Tambahkan $17$ dan $17$ .

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{17}}$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\sqrt{34}$ dan $\sqrt{17}$ ke dalam akar tunggal.

$\sqrt{\frac{34}{17}}$

Langkah 8.3.3

Bagilah $34$ dengan $17$ .

$\sqrt{2}$

Langkah 9

Tentukan parameter fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Temukan nilai parameter fokus dari hiperbola menggunakan rumus berikut.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Langkah 9.2

Substitusikan nilai-nilai dari $b$ dan $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ dalam rumus.

$\frac{{\sqrt{17}}^{2}}{\sqrt{34}}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Tulis kembali ${\sqrt{17}}^{2}$ sebagai $17$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{17}$ sebagai $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{34}}$

Langkah 9.3.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{34}}$

Langkah 9.3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{17^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{34}}$

Langkah 9.3.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{17^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{34}}$

Langkah 9.3.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{17^{1}}{\sqrt{34}}$

Langkah 9.3.1.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{17}{\sqrt{34}}$

Langkah 9.3.2

Kalikan $\frac{17}{\sqrt{34}}$ dengan $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{17}{\sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$

Langkah 9.3.3

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Kalikan $\frac{17}{\sqrt{34}}$ dengan $\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{\sqrt{34} \sqrt{34}}$

Langkah 9.3.3.2

Naikkan $\sqrt{34}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34}}$

Langkah 9.3.3.3

Naikkan $\sqrt{34}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1}}$

Langkah 9.3.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{17 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{1 + 1}}$

Langkah 9.3.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{{\sqrt{34}}^{2}}$

Langkah 9.3.3.6

Tulis kembali ${\sqrt{34}}^{2}$ sebagai $34$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{34}$ sebagai $34^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{{(34^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 9.3.3.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{34^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 9.3.3.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.3.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{17 \sqrt{34}}{34^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.3.3.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{17 \sqrt{34}}{34^{1}}$

Langkah 9.3.3.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{17 \sqrt{34}}{34}$

Langkah 9.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $17$ dan $34$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.1

Faktorkan $17$ dari $17 \sqrt{34}$ .

$\frac{17 (\sqrt{34})}{34}$

Langkah 9.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.4.2.1

Faktorkan $17$ dari $34$ .

$\frac{17 \sqrt{34}}{17 \cdot 2}$

Langkah 9.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{17 \sqrt{34}}{17 \cdot 2}$

Langkah 9.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{34}}{2}$

Langkah 10

Asimtotnya mengikuti bentuk $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ karena hiperbola ini terbuka ke kiri dan kanan.

$y = \pm 1 \cdot x - 2$

Langkah 11

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$y = x - 2$

Langkah 12

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y = - x - 2$

Langkah 13

Hiperbola ini memiliki dua asimtot.

$y = x - 2, y = - x - 2$

Langkah 14

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis hiperbola.

Pusat: $(0, - 2)$

Verteks: $(\sqrt{17}, - 2), (- \sqrt{17}, - 2)$

Titik api: $(\sqrt{34}, - 2), (- \sqrt{34}, - 2)$

Eksentrisitas: $\sqrt{2}$

Parameter Fokus: $\frac{\sqrt{34}}{2}$

Asimtot: $y = x - 2$ , $y = - x - 2$

Langkah 15