Prakalkulus Contoh

$x^{2} + 4 y^{2} - 10 - 8 y + 13 = 0$

Langkah 1

Tentukan bentuk baku dari elips.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung variabel ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tambahkan $10$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} + 4 y^{2} - 8 y + 13 = 10$

Langkah 1.1.2

Kurangkan $13$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} + 4 y^{2} - 8 y = 10 - 13$

Langkah 1.1.3

Kurangi $13$ dengan $10$ .

$x^{2} + 4 y^{2} - 8 y = - 3$

Langkah 1.2

Selesaikan kuadrat dari $4 y^{2} - 8 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gunakan bentuk $a x^{2} + b x + c$ , untuk menemukan nilai dari $a$ , $b$ , dan $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Langkah 1.2.2

Mempertimbangkan bentuk verteks parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Langkah 1.2.3

Temukan nilai dari $d$ menggunakan rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ ke dalam rumus $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Langkah 1.2.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 4}{4}$

Langkah 1.2.3.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Langkah 1.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$d = \frac{- 1}{1}$

Langkah 1.2.3.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$d = - 1$

Langkah 1.2.4

Temukan nilai dari $e$ menggunakan rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Substitusikan nilai-nilai dari $c$ , $b$ , dan $a$ ke dalam rumus $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Langkah 1.2.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1.1

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Langkah 1.2.4.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Langkah 1.2.4.2.1.3

Bagilah $64$ dengan $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Langkah 1.2.4.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$e = 0 - 4$

Langkah 1.2.4.2.2

Kurangi $4$ dengan $0$ .

$e = - 4$

Langkah 1.2.5

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ , $d$ , dan $e$ ke dalam bentuk verteks $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Langkah 1.3

Substitusikan $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ untuk $4 y^{2} - 8 y$ dalam persamaan $x^{2} + 4 y^{2} - 8 y = - 3$ .

$x^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} - 4 = - 3$

Langkah 1.4

Pindahkan $- 4$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkan $4$ ke kedua sisinya.

$x^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = - 3 + 4$

Langkah 1.5

Tambahkan $- 3$ dan $4$ .

$x^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 1$

Langkah 1.6

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$x^{2} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{\frac{1}{4}} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$k = 1$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 1)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 5.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Langkah 5.3.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Langkah 5.3.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Langkah 5.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Langkah 5.3.7

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Langkah 5.3.8

Tulis kembali $\sqrt{\frac{3}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Langkah 5.3.9

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.9.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 5.3.9.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 + 1, 1)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(1, 1)$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 - (1), 1)$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(- 1, 1)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 1)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 + \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Langkah 7.4

Titik fokus kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 - (\frac{\sqrt{3}}{2}), 1)$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}}{1}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Bagilah $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$ dengan $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 8.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 8.3.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 8.3.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}$

Langkah 8.3.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{1}{4}}$

Langkah 8.3.6

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Langkah 8.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}$

Langkah 8.3.8

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$\sqrt{\frac{3}{4}}$

Langkah 8.3.9

Tulis kembali $\sqrt{\frac{3}{4}}$ sebagai $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Langkah 8.3.10

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.10.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Langkah 8.3.10.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, 1)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Eksentrisitas: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Langkah 10