Prakalkulus Contoh

$- 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot i$

Langkah 1

Gabungkan $i$ dan $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- 1 - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Langkah 2

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 3

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = - 1$ dan $b = - \frac{1 \sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{1 \sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 5

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\sqrt{3}$ dengan $1$ .

$| z | = \sqrt{{(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.2

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.3.2

Kalikan $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ dengan $1$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.4

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \sqrt{\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.4.5

Evaluasi eksponennya.

$| z | = \sqrt{\frac{3}{3^{2}} + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3}{9} + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.6

Hapus faktor persekutuan dari $3$ dan $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3 (1)}{9} + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3} + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + {(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + 1}$

Langkah 5.7.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}$

Langkah 5.7.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{3}}$

Langkah 5.7.4

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{3}}$

Langkah 5.8

Tulis kembali $\sqrt{\frac{4}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Langkah 5.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Langkah 5.9.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Langkah 5.10

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 5.11

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 5.11.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 5.11.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 5.11.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 5.11.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 5.11.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 5.11.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 5.11.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.11.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 5.11.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 5.11.6.5

Evaluasi eksponennya.

$| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 6

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1})$

Langkah 7

Karena tangen balikan $\frac{- \frac{1 \sqrt{3}}{3}}{- 1}$ menghasilkan sudut di kuadran ketiga, nilai dari sudut tersebut adalah $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Langkah 8

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = \frac{7 π}{6}$ dan $| z | = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))}$