Prakalkulus Contoh

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5}{2} \cdot i$

Langkah 1

Gabungkan $\frac{5}{2}$ dan $i$ .

$\frac{2}{3} + 6 i + \frac{5 i}{2}$

Langkah 2

Untuk menuliskan $6 i$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} + 6 i \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 i}{2}$

Langkah 3

Gabungkan $6 i$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{6 i \cdot 2}{2} + \frac{5 i}{2}$

Langkah 4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2}{3} + \frac{17 i}{2}$

Langkah 5

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 6

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 7

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = \frac{2}{3}$ dan $b = \frac{17}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{17}{2})}^{2} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Langkah 8

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{17}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{17^{2}}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Langkah 8.2

Naikkan $17$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{2^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Langkah 8.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Langkah 8.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{3}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Langkah 8.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{3^{2}}}$

Langkah 8.6

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} + \frac{4}{9}}$

Langkah 8.7

Untuk menuliskan $\frac{289}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9}}$

Langkah 8.8

Untuk menuliskan $\frac{4}{9}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Langkah 8.9

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $36$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.9.1

Kalikan $\frac{289}{4}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Langkah 8.9.2

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Langkah 8.9.3

Kalikan $\frac{4}{9}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4}}$

Langkah 8.9.4

Kalikan $9$ dengan $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9}{36} + \frac{4 \cdot 4}{36}}$

Langkah 8.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$| z | = \sqrt{\frac{289 \cdot 9 + 4 \cdot 4}{36}}$

Langkah 8.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.11.1

Kalikan $289$ dengan $9$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 4 \cdot 4}{36}}$

Langkah 8.11.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2601 + 16}{36}}$

Langkah 8.11.3

Tambahkan $2601$ dan $16$ .

$| z | = \sqrt{\frac{2617}{36}}$

Langkah 8.12

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2617}{36}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{36}}$

Langkah 8.13

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.13.1

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{\sqrt{6^{2}}}$

Langkah 8.13.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$

Langkah 9

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}})$

Langkah 10

Karena tangen balikan $\frac{\frac{17}{2}}{\frac{2}{3}}$ menghasilkan sudut di kuadran pertama, nilai dari sudut tersebut adalah $1.49252518$ .

$θ = 1.49252518$

Langkah 11

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = 1.49252518$ dan $| z | = \frac{\sqrt{2617}}{6}$ .

$\frac{\sqrt{2617}}{6 (\cos (1.49252518) + i \sin (1.49252518))}$