Prakalkulus Contoh

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \cdot i$

Langkah 1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $i$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$

Langkah 2

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 3

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$ dan $b = \frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Langkah 5

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Langkah 5.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Langkah 5.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

Langkah 5.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 5.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 5.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Langkah 5.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Langkah 5.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Langkah 5.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Langkah 5.2.5

Evaluasi eksponennya.

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

Langkah 5.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$| z | = \sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$| z | = \sqrt{\frac{4}{4}}$

Langkah 5.3.4

Bagilah $4$ dengan $4$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Langkah 5.3.5

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$| z | = 1$

Langkah 6

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}})$

Langkah 7

Karena tangen balikan $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ menghasilkan sudut di kuadran pertama, nilai dari sudut tersebut adalah $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Langkah 8

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = \frac{π}{6}$ dan $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})$