Prakalkulus Contoh

$25 x^{2} + 2 y^{2} = 50$

Langkah 1

Kurangkan $25 x^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 y^{2} = 50 - 25 x^{2}$

Langkah 2

Bagi setiap suku pada $2 y^{2} = 50 - 25 x^{2}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagilah setiap suku di $2 y^{2} = 50 - 25 x^{2}$ dengan $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{50}{2} + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{50}{2} + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

Langkah 2.2.1.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{50}{2} + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

Langkah 2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Bagilah $50$ dengan $2$ .

$y^{2} = 25 + \frac{- 25 x^{2}}{2}$

Langkah 2.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = 25 - \frac{25 x^{2}}{2}$

Langkah 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{2}}$

Langkah 4

Sederhanakan $\pm \sqrt{25 - \frac{25 x^{2}}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menuliskan $25$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{25 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25 x^{2}}{2}}$

Langkah 4.2

Gabungkan $25$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2} - \frac{25 x^{2}}{2}}$

Langkah 4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{25 \cdot 2 - 25 x^{2}}{2}}$

Langkah 4.4

Faktorkan $25$ dari $25 \cdot 2 - 25 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Faktorkan $25$ dari $25 \cdot 2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (2) - 25 x^{2}}{2}}$

Langkah 4.4.2

Faktorkan $25$ dari $- 25 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (2) + 25 (- x^{2})}{2}}$

Langkah 4.4.3

Faktorkan $25$ dari $25 (2) + 25 (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (2 - x^{2})}{2}}$

Langkah 4.5

Tulis kembali $\sqrt{\frac{25 (2 - x^{2})}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{25 (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{25 (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$

Langkah 4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5^{2} (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$

Langkah 4.6.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$

Langkah 4.7

Kalikan $\frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 4.8

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Kalikan $\frac{5 \sqrt{2 - x^{2}}}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 4.8.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 4.8.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 4.8.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 4.8.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 4.8.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.8.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.8.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.8.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 4.8.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 4.8.6.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 - x^{2}} \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.9

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

Langkah 5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

Langkah 5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

Langkah 5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

$y = - \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

$y = \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

$y = - \frac{5 \sqrt{2 (2 - x^{2})}}{2}$

Langkah 6

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{2 (2 - x^{2})}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$2 (2 - x^{2}) \geq 0$

Langkah 7

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagi setiap suku pada $2 (2 - x^{2}) \geq 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Bagilah setiap suku di $2 (2 - x^{2}) \geq 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 (2 - x^{2})}{2} \geq \frac{0}{2}$

Langkah 7.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (2 - x^{2})}{2} \geq \frac{0}{2}$

Langkah 7.1.2.1.2

Bagilah $2 - x^{2}$ dengan $1$ .

$2 - x^{2} \geq \frac{0}{2}$

Langkah 7.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$2 - x^{2} \geq 0$

Langkah 7.2

Kurangkan $2$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$- x^{2} \geq - 2$

Langkah 7.3

Bagi setiap suku pada $- x^{2} \geq - 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Bagi setiap suku dalam $- x^{2} \geq - 2$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 7.3.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 7.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Langkah 7.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Langkah 7.5

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Langkah 7.6

Tulis $| x | \leq \sqrt{2}$ sebagai fungsi sesepenggal.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Untuk mencari interval bagian pertama, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya tidak negatif.

$x \geq 0$

Langkah 7.6.2

Pada bagian di mana $x$ non-negatif, hapus nilai mutlaknya.

$x \leq \sqrt{2}$

Langkah 7.6.3

Untuk mencari interval bagian kedua, tentukan di mana bagian dalam dari nilai mutlaknya negatif.

$x < 0$

Langkah 7.6.4

Pada bagian di mana $x$ negatif, hapus nilai mutlaknya dan kalikan dengan $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Langkah 7.6.5

Tulis sebagai fungsi sesepenggal.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Langkah 7.7

Tentukan irisan dari $x \leq \sqrt{2}$ dan $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Langkah 7.8

Selesaikan $- x \leq \sqrt{2}$ ketika $x < 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1

Bagi setiap suku pada $- x \leq \sqrt{2}$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1.1

Bagi setiap suku dalam $- x \leq \sqrt{2}$ dengan $- 1$ . Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan nilai negatif, balik arah tanda pertidaksamaan.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Langkah 7.8.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Langkah 7.8.1.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Langkah 7.8.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.8.1.3.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Langkah 7.8.1.3.2

Tulis kembali $- 1 \cdot \sqrt{2}$ sebagai $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Langkah 7.8.2

Tentukan irisan dari $x \geq - \sqrt{2}$ dan $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Langkah 7.9

Tentukan gabungan dari penyelesaian-penyelesaiannya.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Langkah 8

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Langkah 9

Jangkauannya adalah himpunan dari semua nilai $y$ yang valid. Gunakan grafik untuk mencari intervalnya.

Notasi Interval:

$[- 5, 5]$

Notasi Pembuat Himpunan:

${y | - 5 \leq y \leq 5}$

Langkah 10

Tentukan domain dan daerah hasilnya.

Domain: $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}], {x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Daerah hasil: $[- 5, 5], {y | - 5 \leq y \leq 5}$

Langkah 11