Prakalkulus Contoh

$\sin (x) = \frac{2}{9}$ , $0 < x < \frac{π}{2}$

Langkah 1

Kurangkan $\sin (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$0 = \frac{2}{9} - \sin (x)$

Langkah 2

Teorema Nilai Antara menyatakan bahwa, jika $f$ adalah fungsi kontinu dengan bilangan riil pada interval $[a, b]$ , dan $u$ adalah bilangan antara $f (a)$ dan $f (b)$ , maka ada $c$ yang termuat dalam interval $[a, b]$ , seperti $f (c) = u$ .

$u = f (c) = 0$

Langkah 3

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 4

Hitung $f (a) = f (0) = \frac{2}{9} - \sin (0)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9} - 0$

Langkah 4.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9} + 0$

Langkah 4.2

Tambahkan $\frac{2}{9}$ dan $0$ .

$f (0) = \frac{2}{9}$

Langkah 5

Hitung $f (b) = f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - \sin (\frac{π}{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot 1$

Langkah 5.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1$

Langkah 5.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

Langkah 5.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Langkah 5.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 1 \cdot 9}{9}$

Langkah 5.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{2 - 9}{9}$

Langkah 5.5.2

Kurangi $9$ dengan $2$ .

$f (\frac{π}{2}) = \frac{- 7}{9}$

Langkah 5.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{π}{2}) = - \frac{7}{9}$

Langkah 6

Since $0$ is on the interval $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ , solve the equation for $x$ at the root.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$ .

$\frac{2}{9} - \sin (x) = 0$

Langkah 6.2

Kurangkan $\frac{2}{9}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \sin (x) = - \frac{2}{9}$

Langkah 6.3

Bagi setiap suku pada $- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagilah setiap suku di $- \sin (x) = - \frac{2}{9}$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Langkah 6.3.2.2

Bagilah $\sin (x)$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \frac{2}{9}}{- 1}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\sin (x) = \frac{\frac{2}{9}}{1}$

Langkah 6.3.3.2

Bagilah $\frac{2}{9}$ dengan $1$ .

$\sin (x) = \frac{2}{9}$

Langkah 6.4

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (\frac{2}{9})$

Langkah 6.5

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Evaluasi $\arcsin (\frac{2}{9})$ .

$x = 0.22409309$

Langkah 6.6

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

Langkah 6.7

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = 3.14159265 - 0.22409309$

Langkah 6.7.2

Hilangkan tanda kurung.

$x = (3.14159265) - 0.22409309$

Langkah 6.7.3

Kurangi $0.22409309$ dengan $3.14159265$ .

$x = 2.91749956$

Langkah 6.8

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 6.8.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 6.8.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 6.8.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 6.9

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 0.22409309 + 2 π n, 2.91749956 + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 7

Teorema Nilai Antara menyatakan bahwa ada akar $f (c) = 0$ pada interval $[- \frac{7}{9}, \frac{2}{9}]$ karena $f$ adalah fungsi yang kontinu pada $[0, \frac{π}{2}]$ .

Akar-akar pada interval $[0, \frac{π}{2}]$ berada pada .

Langkah 8