Prakalkulus Contoh

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku dalam persamaan tersebut agar sisi kanan sama dengan $1$ . Bentuk baku dari elips atau hiperbola mengharuskan sisi kanan persamaan menjadi $1$ .

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

Langkah 2

Ini adalah bentuk dari elips. Gunakan bentuk ini untuk menentukan nilai-nilai yang digunakan untuk menentukan pusat serta sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Langkah 3

Sesuaikan nilai-nilai dari elips ini dengan bentuk baku tersebut. Variabel $a$ mewakili radius sumbu panjang elips, $b$ mewakili radius sumbu pendek elips, $h$ mewakili x-offset dari titik asal, dan $k$ mewakili y-offset dari titik asal.

$a = 4$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Langkah 4

Pusat elips mengikuti bentuk dari $(h, k)$ . Masukkan nilai-nilai dari $h$ dan $k$ .

$(0, 0)$

Langkah 5

Temukan $c$ , jarak dari pusat ke fokus.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Hitung jarak dari pusat ke fokus elips menggunakan rumus berikut.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Langkah 5.2

Substitusikan nilai-nilai dari $a$ dan $b$ dalam rumus.

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{16 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Langkah 5.3.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{16 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}$

Langkah 5.3.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{16 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}$

Langkah 5.3.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{16 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Langkah 5.3.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Langkah 5.3.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Langkah 5.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}$

Langkah 5.3.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{1})}$

Langkah 5.3.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\sqrt{16 - (4 \cdot 3)}$

Langkah 5.3.3

Kalikan $- (4 \cdot 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\sqrt{16 - 1 \cdot 12}$

Langkah 5.3.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$\sqrt{16 - 12}$

Langkah 5.3.4

Kurangi $12$ dengan $16$ .

$\sqrt{4}$

Langkah 5.3.5

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Langkah 5.3.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$2$

Langkah 6

Tentukan verteks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Verteks pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $a$ ke $h$ .

$(h + a, k)$

Langkah 6.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 + 4, 0)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$(4, 0)$

Langkah 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Langkah 6.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $a$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 - (4), 0)$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$(- 4, 0)$

Langkah 6.7

Elips mempunyai dua puncak.

${Vertex}_{1}$ : $(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 0)$

Langkah 7

Tentukan titik apinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Titik fokus pertama dari elips dapat ditentukan dengan menambahkan $c$ ke $h$ .

$(h + c, k)$

Langkah 7.2

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 + 2, 0)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$(2, 0)$

Langkah 7.4

Titik fokus kedua dari elips dapat ditemukan dengan mengurangi $c$ dari $h$ .

$(h - c, k)$

Langkah 7.5

Substitusikan nilai-nilai $h$ , $c$ , dan $k$ yang diketahui ke dalam rumusnya.

$(0 - (2), 0)$

Langkah 7.6

Sederhanakan.

$(- 2, 0)$

Langkah 7.7

Elips mempunyai dua titik api.

${Focus}_{1}$ : $(2, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, 0)$

Langkah 8

Tentukan eksentrisitasnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Tentukan eksentrisitas menggunakan rumus berikut.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Langkah 8.2

Substitusikan nilai-nilai $a$ dan $b$ ke dalam rumusnya.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{4}$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{4}$

Langkah 8.3.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{16 - (2^{2} {\sqrt{3}}^{2})}}{4}$

Langkah 8.3.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - (4 {\sqrt{3}}^{2})}}{4}$

Langkah 8.3.1.4

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{16 - (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})}}{4}$

Langkah 8.3.1.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})}}{4}$

Langkah 8.3.1.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{4}$

Langkah 8.3.1.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}})}}{4}$

Langkah 8.3.1.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\sqrt{16 - (4 \cdot 3^{1})}}{4}$

Langkah 8.3.1.4.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{\sqrt{16 - (4 \cdot 3)}}{4}$

Langkah 8.3.1.5

Kalikan $- (4 \cdot 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.5.1

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 12}}{4}$

Langkah 8.3.1.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$\frac{\sqrt{16 - 12}}{4}$

Langkah 8.3.1.6

Kurangi $12$ dengan $16$ .

$\frac{\sqrt{4}}{4}$

Langkah 8.3.1.7

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{4}$

Langkah 8.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$\frac{2}{4}$

Langkah 8.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Langkah 8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Langkah 8.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Langkah 8.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2}$

Langkah 9

Nilai-nilai ini merupakan nilai-nilai yang penting untuk membuat grafik dan menganalisis elips.

Pusat: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(4, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 4, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- 2, 0)$

Eksentrisitas: $\frac{1}{2}$

Langkah 10