Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 7 \cos^{2} (θ) d θ$

Langkah 1

Karena $7$ konstan terhadap $θ$ , pindahkan $7$ keluar dari integral.

$7 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (θ) d θ$

Langkah 2

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (θ)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 θ)}{2}$ .

$7 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 θ)}{2} d θ$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $θ$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$7 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ) d θ)$

Langkah 4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $7$ .

$\frac{7}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 θ) d θ$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{7}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 θ) d θ)$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{7}{2} (θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 θ) d θ)$

Langkah 7

Biarkan $u = 2 θ$ . Kemudian $d u = 2 d θ$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d θ$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = 2 θ$ . Tentukan $\frac{d u}{d θ}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $2 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [2 θ]$

Langkah 7.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $2 θ$ terhadap $θ$ adalah $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [θ]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ adalah $n θ^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 7.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 7.2

Substitusikan batas bawah untuk $θ$ di $u = 2 θ$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Langkah 7.3

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 7.4

Substitusikan batas atas untuk $θ$ di $u = 2 θ$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 7.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Langkah 7.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = π$

Langkah 7.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Langkah 7.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\frac{7}{2} (θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 8

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{7}{2} (θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{7}{2} (θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

Langkah 10

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$\frac{7}{2} (θ]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Langkah 11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi $θ$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $0$ .

$\frac{7}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{π})$

Langkah 11.2

Evaluasi $\sin (u)$ pada $π$ dan pada $0$ .

$\frac{7}{2} ((\frac{π}{2}) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (0)))$

Langkah 11.3

Tambahkan $\frac{π}{2}$ dan $0$ .

$\frac{7}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (0)))$

Langkah 12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{7}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) - 0))$

Langkah 12.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{7}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} (\sin (π) + 0))$

Langkah 12.3

Tambahkan $\sin (π)$ dan $0$ .

$\frac{7}{2} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (π))$

Langkah 12.4

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (π)$ .

$\frac{7}{2} (\frac{π}{2} + \frac{\sin (π)}{2})$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{7}{2} \cdot \frac{π + \sin (π)}{2}$

Langkah 13.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{7}{2} \cdot \frac{π + \sin (0)}{2}$

Langkah 13.2.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{7}{2} \cdot \frac{π + 0}{2}$

Langkah 13.3

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$\frac{7}{2} \cdot \frac{π}{2}$

Langkah 13.4

Kalikan $\frac{7}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Kalikan $\frac{7}{2}$ dengan $\frac{π}{2}$ .

$\frac{7 π}{2 \cdot 2}$

Langkah 13.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{7 π}{4}$

Langkah 14

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{7 π}{4}$

Bentuk Desimal:

$5.49778714 \dots$