Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\tan (x) - 1}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Langkah 1.2.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Langkah 1.2.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Langkah 1.2.5.1.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Langkah 1.2.5.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Langkah 1.2.5.3

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Langkah 1.2.5.4

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

Langkah 1.3.1.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena tangen kontinu.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

Langkah 1.3.1.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - 1 \cdot 1}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1.1

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Langkah 1.3.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Langkah 1.3.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\tan (x) - 1} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (x) - \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Langkah 3.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Langkah 3.4.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\tan (x) - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.6

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Langkah 3.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\sec^{2} (x) + 0}$

Langkah 3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Tambahkan $\sec^{2} (x)$ dan $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 3.8.2

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Langkah 3.8.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Langkah 3.8.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sin (x) - \cos (x)}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} (- \sin (x) - \cos (x)) \cos^{2} (x)$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $x$ mendekati $\frac{π}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sin (x) - \cos (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Langkah 6

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\frac{π}{4}$ .

$(- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Langkah 7

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$(- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Langkah 8

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$(- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Langkah 9

Pindahkan pangkat $2$ dari $\cos^{2} (x)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$(- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2}$

Langkah 10

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$(- \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Langkah 11

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$(- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Langkah 11.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$(- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Langkah 11.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{4}$ ke dalam (Variabel2).

$(- \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 12

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 12.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 12.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 12.3

Kurangi $\sqrt{2}$ dengan $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 12.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 12.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 12.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 12.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 12.4.2.4

Bagilah $- \sqrt{2}$ dengan $1$ .

$- \sqrt{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Langkah 12.5

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Langkah 12.6

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Langkah 12.7

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sqrt{2} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Langkah 12.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Langkah 12.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Langkah 12.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Langkah 12.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Langkah 12.7.5

Evaluasi eksponennya.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2^{2}}$

Langkah 12.8

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2}{4}$

Langkah 12.9

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.9.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2 (1)}{4}$

Langkah 12.9.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.9.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Langkah 12.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Langkah 12.9.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 12.10

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 13

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

Bentuk Desimal:

$- 0.70710678 \dots$