Kalkulus Contoh

$\frac{x^{2}}{x + y} = y^{2} + 2$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x + y}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 2)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x + y) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x + y$ .

$\frac{2 \cdot (x + y) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 2.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{2 (x + y) x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x + 2 y) x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 2.4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x \cdot x + 2 y x - x^{2} (1 + y')}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 2.4.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x \cdot x + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 2.4.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 2.4.4.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 y x - x^{2} \cdot 1 - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 2.4.4.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 y x - x^{2} - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 2.4.4.2

Kurangi $x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 y x - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 2.4.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{x^{2} + 2 x y - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 2.4.6

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + 2 x y - x^{2} y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.6.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x y - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 2.4.6.2

Faktorkan $x$ dari $2 x y$ .

$\frac{x \cdot x + x (2 y) - x^{2} y'}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 2.4.6.3

Faktorkan $x$ dari $- x^{2} y'$ .

$\frac{x \cdot x + x (2 y) + x (- x y')}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 2.4.6.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x (2 y)$ .

$\frac{x (x + 2 y) + x (- x y')}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 2.4.6.5

Faktorkan $x$ dari $x (x + 2 y) + x (- x y')$ .

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}}$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} + 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 3.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 y y' + 0$

Langkah 3.3.2

Tambahkan $2 y y'$ dan $0$ .

$2 y y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua ruas dengan ${(x + y)}^{2}$ .

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan $\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + y)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x (x + 2 y - x y')}{{(x + y)}^{2}} {(x + y)}^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Langkah 5.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x (x + 2 y - x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Langkah 5.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$x \cdot x + x (2 y) + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Langkah 5.2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.3.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} + x (2 y) + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Langkah 5.2.1.3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{2} + 2 x y + x (- x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Langkah 5.2.1.3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$x^{2} + 2 x y - x (x y') = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.4.1

Pindahkan $x$ .

$x^{2} + 2 x y - (x \cdot x) y' = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Langkah 5.2.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} + 2 x y - x^{2} y' = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Langkah 5.2.1.5

Pindahkan $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 x y - y' x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Langkah 5.2.1.6

Pindahkan $x^{2}$ .

$2 x y - y' x^{2} + x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Langkah 5.2.1.7

Susun kembali $2 x y$ dan $- y' x^{2}$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Langkah 5.3

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan $2 y y' {(x + y)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Tulis kembali.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 0 + 0 + 2 y y' {(x + y)}^{2}$

Langkah 5.3.1.2

Tulis kembali ${(x + y)}^{2}$ sebagai $(x + y) (x + y)$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' ((x + y) (x + y))$

Langkah 5.3.1.3

Perluas $(x + y) (x + y)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x (x + y) + y (x + y))$

Langkah 5.3.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x \cdot x + x y + y (x + y))$

Langkah 5.3.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y)$

Langkah 5.3.1.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y)$

Langkah 5.3.1.4.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + y x + y^{2})$

Langkah 5.3.1.4.2

Tambahkan $x y$ dan $y x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.4.2.1

Susun kembali $y$ dan $x$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + x y + x y + y^{2})$

Langkah 5.3.1.4.2.2

Tambahkan $x y$ dan $x y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' (x^{2} + 2 x y + y^{2})$

Langkah 5.3.1.5

Terapkan sifat distributif.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y y' (2 x y) + 2 y y' y^{2}$

Langkah 5.3.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.6.1

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.6.1.1

Pindahkan $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 (y \cdot y) y' (2 x) + 2 y y' y^{2}$

Langkah 5.3.1.6.1.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y y' y^{2}$

Langkah 5.3.1.6.2

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.6.2.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 (y^{2} y) y'$

Langkah 5.3.1.6.2.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.6.2.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 (y^{2} y^{1}) y'$

Langkah 5.3.1.6.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y^{2 + 1} y'$

Langkah 5.3.1.6.2.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 2 y^{2} y' (2 x) + 2 y^{3} y'$

Langkah 5.3.1.7

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- y' x^{2} + 2 x y + x^{2} = 2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y'$

Langkah 5.3.2

Karena $y'$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' = - y' x^{2} + 2 x y + x^{2}$

Langkah 5.3.3

Tambahkan $y' x^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' x^{2} = 2 x y + x^{2}$

Langkah 5.3.4

Faktorkan $y'$ dari $2 y y' x^{2} + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Faktorkan $y'$ dari $2 y y' x^{2}$ .

$y' (2 y x^{2}) + 4 y^{2} y' x + 2 y^{3} y' + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Langkah 5.3.4.2

Faktorkan $y'$ dari $4 y^{2} y' x$ .

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + 2 y^{3} y' + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Langkah 5.3.4.3

Faktorkan $y'$ dari $2 y^{3} y'$ .

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Langkah 5.3.4.4

Faktorkan $y'$ dari $y' x^{2}$ .

$y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Langkah 5.3.4.5

Faktorkan $y'$ dari $y' (2 y x^{2}) + y' (4 y^{2} x)$ .

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x) + y' (2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Langkah 5.3.4.6

Faktorkan $y'$ dari $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x) + y' (2 y^{3})$ .

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3}) + y' (x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Langkah 5.3.4.7

Faktorkan $y'$ dari $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3}) + y' (x^{2})$ .

$y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$

Langkah 5.3.5

Bagi setiap suku pada $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$ dengan $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.1

Bagilah setiap suku di $y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}) = 2 x y + x^{2}$ dengan $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ .

$\frac{y' (2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2})}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Langkah 5.3.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 5.3.5.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}} + \frac{x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Langkah 5.3.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{2 x y + x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Langkah 5.3.5.3.2

Faktorkan $x$ dari $2 x y + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.5.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $2 x y$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x^{2}}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Langkah 5.3.5.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x \cdot x}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Langkah 5.3.5.3.2.3

Faktorkan $x$ dari $x (2 y) + x \cdot x$ .

$y' = \frac{x (2 y + x)}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y + x)}{2 y x^{2} + 4 y^{2} x + 2 y^{3} + x^{2}}$