Kalkulus Contoh

$y = x^{3 x}$

Langkah 1

Biarkan $y = f (x)$ , ambil logaritma alami dari kedua ruas $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{3 x})$

Langkah 2

Perluas $\ln (x^{3 x})$ dengan memindahkan $3 x$ ke luar logaritma.

$\ln (y) = 3 x \ln (x)$

Langkah 3

Diferensialkan persamaan menggunakan kaidah rantai, dengan menganggap $y$ adalah fungsi dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan ruas bagian kiri $\ln (y)$ menggunakan kaidah rantai.

$\frac{y'}{y} = 3 x \ln (x)$

Langkah 3.2

Diferensialkan ruas bagian kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan $3 x \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [3 x \ln (x)]$

Langkah 3.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Langkah 3.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.2.4

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y'}{y} = 3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.2.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y'}{y} = 3 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.2.5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = 3 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Langkah 3.2.5.4

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\frac{y'}{y} = 3 (1 + \ln (x))$

Langkah 3.2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y'}{y} = 3 \cdot 1 + 3 \ln (x)$

Langkah 3.2.6.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{y'}{y} = 3 + 3 \ln (x)$

Langkah 3.2.6.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{y'}{y} = 3 \ln (x) + 3$

Langkah 4

Isolasikan $y'$ dan substitusikan fungsi asli untuk $y$ di sisi kanan.

$y' = (3 \ln (x) + 3) x^{3 x}$

Langkah 5

Sederhanakan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan $3 \ln (x)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$y' = (\ln (x^{3}) + 3) x^{3 x}$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$y' = \ln (x^{3}) x^{3 x} + 3 x^{3 x}$

Langkah 5.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (x^{3}) x^{3 x} + 3 x^{3 x}$ .

$y' = x^{3 x} \ln (x^{3}) + 3 x^{3 x}$