Kalkulus Contoh

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$

Langkah 1

Tulis kembali $\tan^{2} (θ) (1 - \sin (θ))$ sebagai $\frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 2

Buat limitnya sebagai limit kiri.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 3

Evaluasi limit kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 3.1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $θ$ mendekati $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 3.1.1.2.1.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 3.1.1.2.1.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 3.1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 3.1.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.2.3.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 3.1.1.2.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 3.1.1.2.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 3.1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

Langkah 3.1.1.3.2

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{\tan^{2} (θ)}$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 3.1.1.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 3.1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 3.1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Langkah 3.1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Langkah 3.1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Langkah 3.1.3.3

Karena $1$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $1$ terhadap $θ$ adalah $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Langkah 3.1.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $- \sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Langkah 3.1.3.4.2

Turunan dari $\sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Langkah 3.1.3.5

Kurangi $\cos (θ)$ dengan $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Langkah 3.1.3.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ adalah $f' (g (θ)) g' (θ)$ di mana $f (θ) = θ^{- 2}$ dan $g (θ) = \tan (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Langkah 3.1.3.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Langkah 3.1.3.6.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Langkah 3.1.3.7

Turunan dari $\tan (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

Langkah 3.1.3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.8.1

Susun kembali faktor-faktor dari $- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

Langkah 3.1.3.8.2

Tulis kembali $\sec (θ)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

Langkah 3.1.3.8.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Langkah 3.1.3.8.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Langkah 3.1.3.8.5

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Langkah 3.1.3.8.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Langkah 3.1.3.8.7

Tulis kembali $\tan (θ)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

Langkah 3.1.3.8.8

Mengubah tanda eksponen dengan menulis kembali bilangan pokok sebagai kebalikannya.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

Langkah 3.1.3.8.9

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Langkah 3.1.3.8.10

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos^{2} (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.8.10.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ ke dalam pembilangnya.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Langkah 3.1.3.8.10.2

Faktorkan $\cos^{2} (θ)$ dari $\cos^{3} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Langkah 3.1.3.8.10.3

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Langkah 3.1.3.8.10.4

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Langkah 3.1.3.8.11

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Langkah 3.1.3.8.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Langkah 3.1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

Langkah 3.1.5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Langkah 3.1.5.2

Kalikan $\cos (θ)$ dengan $1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Langkah 3.1.5.3

Gabungkan $\cos (θ)$ dan $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Langkah 3.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Langkah 3.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

Langkah 3.2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin^{3} (θ)$

Langkah 3.2.2

Pindahkan pangkat $3$ dari $\sin^{3} (θ)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} \sin (θ))}^{3}$

Langkah 3.2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{-}} θ)$

Langkah 3.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

Langkah 3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Langkah 3.4.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 3.4.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 4

Buat limitnya sebagai limit kanan.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 5

Evaluasi limit kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 5.1.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $θ$ mendekati $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 5.1.1.2.1.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 5.1.1.2.1.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{1 - \sin (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 5.1.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1 - \sin (\frac{π}{2})}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 5.1.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.3.1.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 5.1.1.2.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 5.1.1.2.3.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \tan^{- 2} (θ)}$

Langkah 5.1.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1}{\tan^{2} (θ)}}$

Langkah 5.1.1.3.2

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{\tan^{2} (θ)}$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.1.1.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.1.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 5.1.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{1 - \sin (θ)}{\tan^{- 2} (θ)} = lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Langkah 5.1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1 - \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Langkah 5.1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - \sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Langkah 5.1.3.3

Karena $1$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $1$ terhadap $θ$ adalah $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 + \frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Langkah 5.1.3.4

Evaluasi $\frac{d}{d θ} [- \sin (θ)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $- \sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $- \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Langkah 5.1.3.4.2

Turunan dari $\sin (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{0 - \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Langkah 5.1.3.5

Kurangi $\cos (θ)$ dengan $0$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [\tan^{- 2} (θ)]}$

Langkah 5.1.3.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ adalah $f' (g (θ)) g' (θ)$ di mana $f (θ) = θ^{- 2}$ dan $g (θ) = \tan (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Langkah 5.1.3.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Langkah 5.1.3.6.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\tan (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]}$

Langkah 5.1.3.7

Turunan dari $\tan (θ)$ terhadap $θ$ adalah $\sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)}$

Langkah 5.1.3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.8.1

Susun kembali faktor-faktor dari $- 2 \tan^{- 3} (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \sec^{2} (θ) \tan^{- 3} (θ)}$

Langkah 5.1.3.8.2

Tulis kembali $\sec (θ)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \tan^{- 3} (θ)}$

Langkah 5.1.3.8.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Langkah 5.1.3.8.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Langkah 5.1.3.8.5

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Langkah 5.1.3.8.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \tan^{- 3} (θ)}$

Langkah 5.1.3.8.7

Tulis kembali $\tan (θ)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)})}^{- 3}}$

Langkah 5.1.3.8.8

Mengubah tanda eksponen dengan menulis kembali bilangan pokok sebagai kebalikannya.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{3}}$

Langkah 5.1.3.8.9

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Langkah 5.1.3.8.10

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos^{2} (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.3.8.10.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{\cos^{2} (θ)}$ ke dalam pembilangnya.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{3} (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Langkah 5.1.3.8.10.2

Faktorkan $\cos^{2} (θ)$ dari $\cos^{3} (θ)$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Langkah 5.1.3.8.10.3

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos^{2} (θ) \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Langkah 5.1.3.8.10.4

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- 2 \frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Langkah 5.1.3.8.11

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{\cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{\frac{- 2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Langkah 5.1.3.8.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{- \cos (θ)}{- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{3} (θ)}}$

Langkah 5.1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} - \cos (θ) (- \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)})$

Langkah 5.1.5

Gabungkan faktor-faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} 1 \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Langkah 5.1.5.2

Kalikan $\cos (θ)$ dengan $1$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \cos (θ) \frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Langkah 5.1.5.3

Gabungkan $\cos (θ)$ dan $\frac{\sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$ .

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Langkah 5.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (θ)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\cos (θ) \sin^{3} (θ)}{2 \cos (θ)}$

Langkah 5.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \frac{\sin^{3} (θ)}{2}$

Langkah 5.2

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $θ$ .

$\frac{1}{2} lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin^{3} (θ)$

Langkah 5.2.2

Pindahkan pangkat $3$ dari $\sin^{3} (θ)$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{1}{2} {(lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} \sin (θ))}^{3}$

Langkah 5.2.3

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{1}{2} \sin^{3} (lim_{θ \to {(\frac{π}{2})}^{+}} θ)$

Langkah 5.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $\frac{π}{2}$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1}{2} \sin^{3} (\frac{π}{2})$

Langkah 5.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Langkah 5.4.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 5.4.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 6

Karena limit kirinya sama dengan limit kanannya, limitnya sama dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{2}$

Bentuk Desimal:

$0.5$