Kalkulus Contoh

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} & x < 2 \\ a x^{2} - b x + 3 & 2 \leq x < 3 \\ 4 x - a + b & x \geq 3 \end{cases}$

Langkah 1

Tentukan limit dari $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ ketika $x$ mendekati $2$ dari kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ubah limit dua arah menjadi limit kiri.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Langkah 1.2

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Langkah 1.2.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2^{-}} x^{2} - lim_{x \to 2^{-}} 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Langkah 1.2.1.2.1.2

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{-}} 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Langkah 1.2.1.2.1.3

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2^{-}} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Langkah 1.2.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Langkah 1.2.1.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.2.3.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Langkah 1.2.1.2.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Langkah 1.2.1.2.3.2

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x - 2}$

Langkah 1.2.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.3.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x - lim_{x \to 2^{-}} 2}$

Langkah 1.2.1.3.1.2

Evaluasi limit dari $2$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{-}} x - 1 \cdot 2}$

Langkah 1.2.1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Langkah 1.2.1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Langkah 1.2.1.3.3.2

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2.1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2.1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.2.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} = lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Langkah 1.2.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Langkah 1.2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Langkah 1.2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Langkah 1.2.3.4

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Langkah 1.2.3.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Langkah 1.2.3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Langkah 1.2.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Langkah 1.2.3.8

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{1 + 0}$

Langkah 1.2.3.9

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{x \to 2^{-}} \frac{2 x}{1}$

Langkah 1.2.4

Bagilah $2 x$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 2^{-}} 2 x$

Langkah 1.3

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$2 lim_{x \to 2^{-}} x$

Langkah 1.4

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$2 \cdot 2$

Langkah 1.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4$

Langkah 2

Evaluasi $a x^{2} - b x + 3$ pada $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$a {(2)}^{2} - b \cdot 2 + 3$

Langkah 2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$a \cdot 4 - b \cdot 2 + 3$

Langkah 2.2.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $a$ .

$4 \cdot a - b \cdot 2 + 3$

Langkah 2.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$4 a - 2 b + 3$

Langkah 3

Karena limit dari $\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ ketika $x$ mendekati $2$ dari kiri tidak sama dengan nilai fungsi pada $x = 2$ , fungsinya tidak kontinu pada $x = 2$ .

Tidak kontinu

Langkah 4