Kalkulus Contoh

$y = x^{2} \sqrt{16 - x^{2}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{16 - x^{2}}$ sebagai ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 16 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $16 - x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $16 - x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 8.3

Pindahkan ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 8.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $16 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 10

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 11

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 12

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 14

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 14.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 14.3

Gabungkan $\frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 15

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 16

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 17

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{- 2 x^{3}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 18

Faktorkan $2$ dari $- 2 x^{3}$ .

$\frac{2 (- x^{3})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 19

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{3})}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 19.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- x^{3})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 19.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 20

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 21

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- \frac{x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Langkah 22

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 22.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$

Langkah 22.2

Pindahkan ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 23

Untuk menuliskan $2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 24

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 25

Kalikan ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 25.1

Pindahkan ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x ({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 25.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 25.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 25.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 25.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{1}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 26

Sederhanakan $2 x {(- x^{2} + 16)}^{1}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 16)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 27

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 27.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 27.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.1.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 27.2.1.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.2.1.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 27.2.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 27.2.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 27.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 16}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 27.2.1.4

Kalikan $16$ dengan $2$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 32 x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 27.2.2

Kurangi $2 x^{3}$ dengan $- x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 32 x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 27.3

Faktorkan $x$ dari $- 3 x^{3} + 32 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 27.3.1

Faktorkan $x$ dari $- 3 x^{3}$ .

$\frac{x (- 3 x^{2}) + 32 x}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 27.3.2

Faktorkan $x$ dari $32 x$ .

$\frac{x (- 3 x^{2}) + x \cdot 32}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 27.3.3

Faktorkan $x$ dari $x (- 3 x^{2}) + x \cdot 32$ .

$\frac{x (- 3 x^{2} + 32)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 27.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x (- (3 x^{2}) + 32)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 27.5

Tulis kembali $32$ sebagai $- 1 (- 32)$ .

$\frac{x (- (3 x^{2}) - 1 (- 32))}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 27.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (3 x^{2}) - 1 (- 32)$ .

$\frac{x (- (3 x^{2} - 32))}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 27.7

Tulis kembali $- (3 x^{2} - 32)$ sebagai $- 1 (3 x^{2} - 32)$ .

$\frac{x (- 1 (3 x^{2} - 32))}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 27.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x (3 x^{2} - 32)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$