Kalkulus Contoh

$x = \sec (\frac{1}{y})$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\sec (\frac{1}{y}))$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sec (x)$ dan $g (x) = \frac{1}{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{1}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\sec (u)$ terhadap $u$ adalah $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{1}{y}$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1$ dan $g (x) = y$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.3.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{y \cdot 0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Kalikan $y$ dengan $0$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.3.3.2

Kurangi $\frac{d}{d x} [y]$ dengan $0$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) \frac{- \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Langkah 3.3.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) (- \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\sec (\frac{1}{y}) \tan (\frac{1}{y}) (- \frac{y'}{y^{2}})$

Langkah 3.5

Gabungkan $\sec (\frac{1}{y})$ dan $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$\tan (\frac{1}{y}) (- \frac{\sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}})$

Langkah 3.6

Gabungkan $\tan (\frac{1}{y})$ dan $\frac{\sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ .

$- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$1 = - \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$ .

$- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$

Langkah 5.2

Bagi setiap suku pada $- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Bagilah setiap suku di $- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 5.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Bagilah $\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 5.2.2.2.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} = - 1$

Langkah 5.3

Kalikan kedua ruas dengan $y^{2}$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} y^{2} = - y^{2}$

Langkah 5.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{y^{2}} y^{2} = - y^{2}$

Langkah 5.4.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) = - y^{2}$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) = - y^{2}$ dengan $\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y}) = - y^{2}$ dengan $\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})$ .

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\tan (\frac{1}{y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' \tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Langkah 5.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y' \sec (\frac{1}{y})}{\sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Langkah 5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\sec (\frac{1}{y})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' \sec (\frac{1}{y})}{\sec (\frac{1}{y})} = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Langkah 5.5.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{2}}{\tan (\frac{1}{y}) \sec (\frac{1}{y})}$

Langkah 5.5.3.2

Pisahkan pecahan.

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cdot \frac{1}{\tan (\frac{1}{y})})$

Langkah 5.5.3.3

Tulis kembali $\tan (\frac{1}{y})$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (\frac{1}{y})}{\cos (\frac{1}{y})}})$

Langkah 5.5.3.4

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{\sin (\frac{1}{y})}{\cos (\frac{1}{y})}$ .

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cdot \frac{\cos (\frac{1}{y})}{\sin (\frac{1}{y})})$

Langkah 5.5.3.5

Konversikan dari $\frac{\cos (\frac{1}{y})}{\sin (\frac{1}{y})}$ ke $\cot (\frac{1}{y})$ .

$y' = - (\frac{y^{2}}{\sec (\frac{1}{y})} \cot (\frac{1}{y}))$

Langkah 5.5.3.6

Pisahkan pecahan.

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (\frac{1}{y})} \cot (\frac{1}{y}))$

Langkah 5.5.3.7

Tulis kembali $\sec (\frac{1}{y})$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (\frac{1}{y})}} \cot (\frac{1}{y}))$

Langkah 5.5.3.8

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (\frac{1}{y})}$ .

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} (1 \cos (\frac{1}{y})) \cot (\frac{1}{y}))$

Langkah 5.5.3.9

Kalikan $\cos (\frac{1}{y})$ dengan $1$ .

$y' = - (\frac{y^{2}}{1} \cos (\frac{1}{y}) \cot (\frac{1}{y}))$

Langkah 5.5.3.10

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y' = - y^{2} \cos (\frac{1}{y}) \cot (\frac{1}{y})$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - y^{2} \cos (\frac{1}{y}) \cot (\frac{1}{y})$