Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{\sqrt{3 x}}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (3 x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 x}}$

Langkah 1.2

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 x}}$

Langkah 1.3

Ketika $x$ mendekati $\infty$ untuk akar-akar, nilainya menjadi $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{\sqrt{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Langkah 3.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Langkah 3.4

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Langkah 3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Langkah 3.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Langkah 3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Langkah 3.7

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

Langkah 3.8

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3 x}$ sebagai ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(3 x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Langkah 3.9

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(3 (x))}^{\frac{1}{2}}]}$

Langkah 3.10

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}$

Langkah 3.11

Karena $3^{\frac{1}{2}}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Langkah 3.12

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Langkah 3.13

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Langkah 3.14

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Langkah 3.15

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Langkah 3.16

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Langkah 3.16.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Langkah 3.17

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Langkah 3.18

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Langkah 3.19

Gabungkan $3^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Langkah 3.20

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Ubah eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis kembali $x^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{3^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.2

Tulis kembali $3^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{3}}$

Langkah 6

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x \sqrt{3}}$

Langkah 7

Kurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{x \sqrt{3}}$

Langkah 7.2

Faktorkan $x$ dari $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x \sqrt{3}}$

Langkah 7.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Faktorkan $x$ dari $x \sqrt{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x (\sqrt{3})}$

Langkah 7.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (2 x^{- \frac{1}{2}})}{x \sqrt{3}}$

Langkah 7.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{\sqrt{3}}$

Langkah 7.4

Pindahkan $x^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{3} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 8

Pindahkan suku $\frac{2}{\sqrt{3}}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 9

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ mendekati $0$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot 0$

Langkah 10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot 0$

Langkah 10.2

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kalikan $\frac{2}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot 0$

Langkah 10.2.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cdot 0$

Langkah 10.2.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cdot 0$

Langkah 10.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot 0$

Langkah 10.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot 0$

Langkah 10.2.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 0$

Langkah 10.2.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 0$

Langkah 10.2.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

Langkah 10.2.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

Langkah 10.2.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} \cdot 0$

Langkah 10.2.6.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 0$

Langkah 10.3

Kalikan $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ dengan $0$ .

$0$