Kalkulus Contoh

$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 4$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}}) = \frac{d}{d x} (4)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 2.2.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 2.2.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 2.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 2.2.5.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 2.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1} y'$

Langkah 2.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Langkah 2.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Langkah 2.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2 - 3}{3}} y'$

Langkah 2.3.6.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{- 1}{3}} y'$

Langkah 2.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{- \frac{1}{3}} y'$

Langkah 2.3.8

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $y^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3} y'$

Langkah 2.3.9

Gabungkan $\frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3}$ dan $y'$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 y^{- \frac{1}{3}} y'}{3}$

Langkah 2.3.10

Pindahkan $y^{- \frac{1}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 2.4.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 5.2

Kalikan kedua ruas dengan $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}}) = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1

Sederhanakan $\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Langkah 5.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Langkah 5.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Langkah 5.3.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Langkah 5.3.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y' = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ ke dalam pembilangnya.

$2 y' = \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Langkah 5.3.2.1.1.2

Faktorkan $3$ dari $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 y' = \frac{- 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Langkah 5.3.2.1.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$2 y' = \frac{- 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} (3 (y^{\frac{1}{3}}))$

Langkah 5.3.2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan.

$2 y' = \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Langkah 5.3.2.1.1.5

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y' = \frac{- 2}{x^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}}$

Langkah 5.3.2.1.2

Gabungkan $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{3}}}$ dan $y^{\frac{1}{3}}$ .

$2 y' = \frac{- 2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 5.3.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 5.4

Bagi setiap suku pada $2 y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Bagilah setiap suku di $2 y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ dengan $2$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}{2}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}{2}$

Langkah 5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}{2}$

Langkah 5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 5.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ ke dalam pembilangnya.

$y' = \frac{- 2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 5.4.3.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 y^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 5.4.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{2 (- y^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 5.4.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{- y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 5.4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$