Kalkulus Contoh

$\cos (x y) = 1 + \sin (y)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (1 + \sin (y))$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Langkah 2.6.2

Susun kembali suku-suku.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \sin (y)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Langkah 3.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$0 + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$0 + \cos (y) y'$

Langkah 3.3

Tambahkan $0$ dan $\cos (y) y'$ .

$\cos (y) y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $\cos (y) y'$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = y' \cos (y)$

Langkah 5.3

Kurangkan $y' \cos (y)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - y' \cos (y) = 0$

Langkah 5.4

Tambahkan $y \sin (x y)$ ke kedua sisi persamaan.

$- x y' \sin (x y) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Langkah 5.5

Faktorkan $y'$ dari $- x y' \sin (x y) - y' \cos (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Faktorkan $y'$ dari $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Langkah 5.5.2

Faktorkan $y'$ dari $- y' \cos (y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Langkah 5.5.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y))$ .

$y' (- x \sin (x y) - 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Langkah 5.6

Tulis kembali $- 1 \cos (y)$ sebagai $- \cos (y)$ .

$y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$

Langkah 5.7

Bagi setiap suku pada $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ dengan $- x \sin (x y) - \cos (y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Bagilah setiap suku di $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ dengan $- x \sin (x y) - \cos (y)$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Langkah 5.7.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- x \sin (x y) - \cos (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Langkah 5.7.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Langkah 5.7.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - \cos (y)}$

Langkah 5.7.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \cos (y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - (\cos (y))}$

Langkah 5.7.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x \sin (x y)) - (\cos (y))$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Langkah 5.7.3.4

Tulis kembali negatifnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.3.4.1

Tulis kembali $- (x \sin (x y) + \cos (y))$ sebagai $- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Langkah 5.7.3.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$