Kalkulus Contoh

$x^{y} = y^{x}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (y^{x})$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang Digeneralisir yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ adalah $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ di mana $f = x$ dan $g = y$ .

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Langkah 2.2.2

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Susun kembali suku-suku.

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

Langkah 2.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ .

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang Digeneralisir yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ adalah $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ di mana $f = y$ dan $g = x$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$y' (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y' (x y^{x - 1}) + 1 (y^{x} \ln (y))$

Langkah 3.4

Kalikan $y^{x}$ dengan $1$ .

$y' (x y^{x - 1}) + y^{x} \ln (y)$

Langkah 3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Susun kembali suku-suku.

$y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$

Langkah 3.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$ .

$x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

Langkah 5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y)$ .

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

Langkah 5.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $- y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$ .

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

Langkah 5.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y)$ .

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

Langkah 5.5

Kurangkan $x y' y^{x - 1}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1}$

Langkah 5.6

Tambahkan $\ln (y) y^{x}$ ke kedua sisi persamaan.

$y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Langkah 5.7

Faktorkan $y'$ dari $y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Faktorkan $y'$ dari $y' \ln (x) x^{y}$ .

$y' (\ln (x) x^{y}) - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Langkah 5.7.2

Faktorkan $y'$ dari $- x y' y^{x - 1}$ .

$y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Langkah 5.7.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1})$ .

$y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Langkah 5.8

Bagi setiap suku pada $y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ dengan $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Bagilah setiap suku di $y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ dengan $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ .

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Langkah 5.8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Langkah 5.8.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Langkah 5.8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Langkah 5.8.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- y x^{y - 1}$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Langkah 5.8.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $\ln (y) y^{x}$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Langkah 5.8.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Langkah 5.8.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.5.1

Tulis kembali $- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ sebagai $- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ .

$y' = \frac{- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Langkah 5.8.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$