Kalkulus Contoh

$x e^{y} = x - y$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x e^{y}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \cdot 1$

Langkah 2.5

Kalikan $e^{y}$ dengan $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y}$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 3.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$1 - y'$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x e^{y} y' + e^{y} = 1 - y'$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $x e^{y} y' + e^{y}$ .

$x y' e^{y} + e^{y} = 1 - y'$

Langkah 5.2

Tambahkan $y'$ ke kedua sisi persamaan.

$x y' e^{y} + e^{y} + y' = 1$

Langkah 5.3

Kurangkan $e^{y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' e^{y} + y' = 1 - e^{y}$

Langkah 5.4

Faktorkan $y'$ dari $x y' e^{y} + y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $y'$ dari $x y' e^{y}$ .

$y' (x e^{y}) + y' = 1 - e^{y}$

Langkah 5.4.2

Naikkan $y'$ menjadi pangkat $1$ .

$y' (x e^{y}) + y' = 1 - e^{y}$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $y'$ dari ${y'}^{1}$ .

$y' (x e^{y}) + y' \cdot 1 = 1 - e^{y}$

Langkah 5.4.4

Faktorkan $y'$ dari $y' (x e^{y}) + y' \cdot 1$ .

$y' (x e^{y} + 1) = 1 - e^{y}$

Langkah 5.5

Bagi setiap suku pada $y' (x e^{y} + 1) = 1 - e^{y}$ dengan $x e^{y} + 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Bagilah setiap suku di $y' (x e^{y} + 1) = 1 - e^{y}$ dengan $x e^{y} + 1$ .

$\frac{y' (x e^{y} + 1)}{x e^{y} + 1} = \frac{1}{x e^{y} + 1} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Langkah 5.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x e^{y} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x e^{y} + 1)}{x e^{y} + 1} = \frac{1}{x e^{y} + 1} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Langkah 5.5.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{1}{x e^{y} + 1} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Langkah 5.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{1 - e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - e^{y}}{x e^{y} + 1}$