Kalkulus Contoh

$y = 144 - x^{2}$ ; $[- 12, 12]$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$144 - x^{2} = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $144 - x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kurangkan $144$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x^{2} = - 144$

Langkah 1.2.2

Bagi setiap suku pada $- x^{2} = - 144$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x^{2} = - 144$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 144}{- 1}$

Langkah 1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 144}{- 1}$

Langkah 1.2.2.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 144}{- 1}$

Langkah 1.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Bagilah $- 144$ dengan $- 1$ .

$x^{2} = 144$

Langkah 1.2.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{144}$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{144}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Tulis kembali $144$ sebagai $12^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{12^{2}}$

Langkah 1.2.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 12$

Langkah 1.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 12$

Langkah 1.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 12$

Langkah 1.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 12, - 12$

Langkah 1.3

Substitusikan $12$ untuk $x$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(12, 0)$

$(- 12, 0)$

$(12, 0)$

$(- 12, 0)$

Langkah 2

Susun kembali $144$ dan $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 144$

Langkah 3

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{- 12}^{12} - x^{2} + 144 d x - \int_{- 12}^{12} 0 d x$

Langkah 4

Integralkan untuk menghitung luas antara $- 12$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{- 12}^{12} - x^{2} + 144 - (0) d x$

Langkah 4.2

Kurangi $0$ dengan $- x^{2} + 144$ .

$\int_{- 12}^{12} - x^{2} + 144 d x$

Langkah 4.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 12}^{12} - x^{2} d x + \int_{- 12}^{12} 144 d x$

Langkah 4.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{- 12}^{12} x^{2} d x + \int_{- 12}^{12} 144 d x$

Langkah 4.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 12}^{12}) + \int_{- 12}^{12} 144 d x$

Langkah 4.6

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 12}^{12}) + \int_{- 12}^{12} 144 d x$

Langkah 4.7

Terapkan aturan konstanta.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 12}^{12}) + 144 x]_{- 12}^{12}$

Langkah 4.8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $12$ dan pada $- 12$ .

$- ((\frac{12^{3}}{3}) - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 x]_{- 12}^{12}$

Langkah 4.8.2

Evaluasi $144 x$ pada $12$ dan pada $- 12$ .

$- (\frac{12^{3}}{3} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Langkah 4.8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.1

Naikkan $12$ menjadi pangkat $3$ .

$- (\frac{1728}{3} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Langkah 4.8.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $1728$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $1728$ .

$- (\frac{3 \cdot 576}{3} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Langkah 4.8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 576}{3 (1)} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Langkah 4.8.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- (\frac{3 \cdot 576}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Langkah 4.8.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- (\frac{576}{1} - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Langkah 4.8.3.2.2.4

Bagilah $576$ dengan $1$ .

$- (576 - \frac{{(- 12)}^{3}}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Langkah 4.8.3.3

Naikkan $- 12$ menjadi pangkat $3$ .

$- (576 - \frac{- 1728}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Langkah 4.8.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $- 1728$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.4.1

Faktorkan $3$ dari $- 1728$ .

$- (576 - \frac{3 \cdot - 576}{3}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Langkah 4.8.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$- (576 - \frac{3 \cdot - 576}{3 (1)}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Langkah 4.8.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- (576 - \frac{3 \cdot - 576}{3 \cdot 1}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Langkah 4.8.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- (576 - \frac{- 576}{1}) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Langkah 4.8.3.4.2.4

Bagilah $- 576$ dengan $1$ .

$- (576 - - 576) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Langkah 4.8.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 576$ .

$- (576 + 576) + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Langkah 4.8.3.6

Tambahkan $576$ dan $576$ .

$- 1 \cdot 1152 + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Langkah 4.8.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $1152$ .

$- 1152 + 144 \cdot 12 - 144 \cdot - 12$

Langkah 4.8.3.8

Kalikan $144$ dengan $12$ .

$- 1152 + 1728 - 144 \cdot - 12$

Langkah 4.8.3.9

Kalikan $- 144$ dengan $- 12$ .

$- 1152 + 1728 + 1728$

Langkah 4.8.3.10

Tambahkan $1728$ dan $1728$ .

$- 1152 + 3456$

Langkah 4.8.3.11

Tambahkan $- 1152$ dan $3456$ .

$2304$

Langkah 5