Kalkulus Contoh

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ ; $[1, 4]$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$4, 8 x^{2}, 1 + y = 0$

Langkah 1.2.1.2

Since $4, 8 x^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 8, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}$ .

Langkah 1.2.1.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

$1$ Daftar faktor prima dari masing-masing bilangan.

Langkah 1.2.1.4

$4$ memiliki faktor $2$ dan $2$ .

$2 \cdot 2 + y = 0$

Langkah 1.2.1.5

Faktor prima untuk $8$ adalah $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.5.1

$8$ memiliki faktor $2$ dan $4$ .

$2 \cdot 4$

Langkah 1.2.1.5.2

$4$ memiliki faktor $2$ dan $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

Langkah 1.2.1.6

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Not $p r i m e + y = 0$

Langkah 1.2.1.7

KPK dari $4, 8, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

Langkah 1.2.1.8

Kalikan $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.8.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$4 \cdot 2 + y = 0$

Langkah 1.2.1.8.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$8 + y = 0$

Langkah 1.2.1.9

Faktor-faktor untuk $x^{2}$ adalah $x \cdot x$ , yaitu $x$ dikalikan satu sama lain $2$ kali.

$x^{2} = x \cdot x$

Langkah 1.2.1.10

KPK dari $x^{2}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$x \cdot x + y = 0$

Langkah 1.2.1.11

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} + y = 0$

Langkah 1.2.1.12

KPK untuk $4, 8 x^{2}, 1$ adalah bagian bilangan $8$ dikalikan dengan bagian variabel.

$8 x^{2} + y = 0$

Langkah 1.2.2

Kalikan setiap suku pada $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ dengan $8 x^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ dengan $8 x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} (8 x^{2}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Langkah 1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$8 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$4 (2) \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Langkah 1.2.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \cdot 2 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Langkah 1.2.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 x^{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Langkah 1.2.2.2.1.3

Kalikan $x^{4}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.3.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x^{4}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Langkah 1.2.2.2.1.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x^{2 + 4} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Langkah 1.2.2.2.1.3.3

Tambahkan $2$ dan $4$ .

$2 x^{6} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Langkah 1.2.2.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Langkah 1.2.2.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.5.1

Faktorkan $8$ dari $8 x^{2}$ .

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 (x^{2})} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Langkah 1.2.2.2.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Langkah 1.2.2.2.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Langkah 1.2.2.2.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Langkah 1.2.2.2.1.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 x^{6} + 1 = 0 (8 x^{2})$

Langkah 1.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Kalikan $0 (8 x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1.1

Kalikan $8$ dengan $0$ .

$2 x^{6} + 1 = 0 x^{2}$

Langkah 1.2.2.3.1.2

Kalikan $0$ dengan $x^{2}$ .

$2 x^{6} + 1 = 0$

Langkah 1.2.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x^{6} = - 1$

Langkah 1.2.3.2

Bagi setiap suku pada $2 x^{6} = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x^{6} = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 1.2.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 1.2.3.2.2.1.2

Bagilah $x^{6}$ dengan $1$ .

$x^{6} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 1.2.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x^{6} = - \frac{1}{2}$

Langkah 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$

Langkah 1.2.3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.4.1

Tulis kembali $- \frac{1}{2}$ sebagai $i^{6} \frac{1^{6}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.4.1.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $i^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1}{2}}$

Langkah 1.2.3.4.1.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1^{6}}{2}}$

Langkah 1.2.3.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1^{6}}{2}}$

Langkah 1.2.3.4.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.2.3.4.4

Tulis kembali $\sqrt[6]{\frac{1}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$

Langkah 1.2.3.4.5

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt[6]{2}}$

Langkah 1.2.3.4.6

Gabungkan $i$ dan $\frac{1}{\sqrt[6]{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Langkah 1.2.3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Langkah 1.2.3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Langkah 1.2.3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}, - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Langkah 1.3

Substitusikan $\frac{i}{\sqrt[6]{2}}$ untuk $x$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x - \int_{1}^{4} 0 d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $1$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} - (0) d x$

Langkah 3.2

Kurangi $0$ dengan $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Langkah 3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Langkah 3.4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{4} x^{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Langkah 3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Langkah 3.6

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{8}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

Langkah 3.7

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Pindahkan $x^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Langkah 3.7.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

Langkah 3.7.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

Langkah 3.8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 2}$ terhadap $x$ adalah $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

Langkah 3.9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Evaluasi $\frac{1}{5} x^{5}$ pada $4$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{5} \cdot 4^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

Langkah 3.9.2

Evaluasi $- x^{- 1}$ pada $4$ dan pada $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 4^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Langkah 3.9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $5$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1024 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Langkah 3.9.3.2

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $1024$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Langkah 3.9.3.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Langkah 3.9.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Langkah 3.9.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1024 - 1}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Langkah 3.9.3.6

Kurangi $1$ dengan $1024$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1023}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Langkah 3.9.3.7

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{1023}{5}$ .

$\frac{1023}{4 \cdot 5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Langkah 3.9.3.8

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Langkah 3.9.3.9

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Langkah 3.9.3.10

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1)$

Langkah 3.9.3.11

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Langkah 3.9.3.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 1 + 4}{4}$

Langkah 3.9.3.13

Tambahkan $- 1$ dan $4$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4}$

Langkah 3.9.3.14

Kalikan $\frac{1}{8}$ dengan $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{8 \cdot 4}$

Langkah 3.9.3.15

Kalikan $8$ dengan $4$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{32}$

Langkah 3.9.3.16

Untuk menuliskan $\frac{1023}{20}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32}$

Langkah 3.9.3.17

Untuk menuliskan $\frac{3}{32}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 3.9.3.18

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $160$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.18.1

Kalikan $\frac{1023}{20}$ dengan $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{20 \cdot 8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 3.9.3.18.2

Kalikan $20$ dengan $8$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Langkah 3.9.3.18.3

Kalikan $\frac{3}{32}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{32 \cdot 5}$

Langkah 3.9.3.18.4

Kalikan $32$ dengan $5$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{160}$

Langkah 3.9.3.19

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1023 \cdot 8 + 3 \cdot 5}{160}$

Langkah 3.9.3.20

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.20.1

Kalikan $1023$ dengan $8$ .

$\frac{8184 + 3 \cdot 5}{160}$

Langkah 3.9.3.20.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$\frac{8184 + 15}{160}$

Langkah 3.9.3.20.3

Tambahkan $8184$ dan $15$ .

$\frac{8199}{160}$

Langkah 4