Kalkulus Contoh

$y = x^{2} - 3$ , $[0, 6]$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$x^{2} - 3 = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $x^{2} - 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 3$

Langkah 1.2.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{3}$

Langkah 1.2.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{3}$

Langkah 1.2.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{3}$

Langkah 1.2.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Langkah 1.3

Substitusikan $\sqrt{3}$ untuk $x$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{0}^{\sqrt{3}} 0 d x - \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} - 3 d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $\sqrt{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 0 - (x^{2} - 3) d x$

Langkah 3.2

Kurangi $x^{2} - 3$ dengan $0$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - (x^{2} - 3) d x$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} + 3 d x$

Langkah 3.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Langkah 3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Langkah 3.7

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Langkah 3.8

Terapkan aturan konstanta.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

Langkah 3.9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $\sqrt{3}$ dan pada $0$ .

$- ((\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

Langkah 3.9.1.2

Evaluasi $3 x$ pada $\sqrt{3}$ dan pada $0$ .

$- (\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Langkah 3.9.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.3.1

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{3}$ sebagai $\sqrt{3^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3^{3}}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Langkah 3.9.1.3.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Langkah 3.9.1.3.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Langkah 3.9.1.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.3.4.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Langkah 3.9.1.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1.3.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Langkah 3.9.1.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Langkah 3.9.1.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Langkah 3.9.1.3.4.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Langkah 3.9.1.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} + 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Langkah 3.9.1.3.6

Tambahkan $\frac{\sqrt{27}}{3}$ dan $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Langkah 3.9.1.3.7

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} + 0$

Langkah 3.9.1.3.8

Tambahkan $3 \sqrt{3}$ dan $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Langkah 3.9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.1

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.1.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Langkah 3.9.2.1.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Langkah 3.9.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Langkah 3.9.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Langkah 3.9.2.3.2

Bagilah $\sqrt{3}$ dengan $1$ .

$- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

Langkah 3.9.2.4

Tambahkan $- \sqrt{3}$ dan $3 \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3}$

Langkah 4

$A r e a = \int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x - \int_{\sqrt{3}}^{6} 0 d x$

Langkah 5

Integralkan untuk menghitung luas antara $\sqrt{3}$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 - (0) d x$

Langkah 5.2

Kurangi $0$ dengan $x^{2} - 3$ .

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x$

Langkah 5.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} d x + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

Langkah 5.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

Langkah 5.5

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

Langkah 5.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Gabungkan $\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6}$ dan $- 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

Langkah 5.6.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Evaluasi $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x$ pada $6$ dan pada $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} - 3 \cdot 6) - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $216$ .

$\frac{216}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $216$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.3.1

Faktorkan $3$ dari $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.2.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{72}{1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.2.2.3.2.4

Bagilah $72$ dengan $1$ .

$72 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.2.2.4

Kalikan $- 3$ dengan $6$ .

$72 - 18 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.2.2.5

Kurangi $18$ dengan $72$ .

$54 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.2.2.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{3}$ sebagai $\sqrt{3^{3}}$ .

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.2.2.7

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{27} - 3 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.2.2.8

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\sqrt{27}$ .

$54 - (\frac{\sqrt{27}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$54 - (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.3.1.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$54 - (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.3.3.2

Bagilah $\sqrt{3}$ dengan $1$ .

$54 - (\sqrt{3} - 3 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.3.4

Kurangi $3 \sqrt{3}$ dengan $\sqrt{3}$ .

$54 - (- 2 \sqrt{3})$

Langkah 5.6.3.5

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$54 + 2 \sqrt{3}$

Langkah 6

Tambahkan $2 \sqrt{3}$ dan $2 \sqrt{3}$ .

$54 + 4 \sqrt{3}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$54 + 4 \sqrt{3}$

Bentuk Desimal:

$60.92820323 \dots$

Langkah 8