Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{1 + x^{2}})$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Langkah 1.3.2

Kalikan $1 + x^{2}$ dengan $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Langkah 1.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Langkah 1.3.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Langkah 1.3.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Langkah 1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Langkah 1.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Langkah 1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - 2 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Langkah 1.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - 2 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Langkah 1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Langkah 1.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Langkah 1.8

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Langkah 1.9

Gabungkan $2$ dan $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.10.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{2 + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.10.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{2 - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.10.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 2 x^{2} + 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.2.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.2.5

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.2.6

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.2.7

Tambahkan $- 4 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.4.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.4.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.4.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.5.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.4.5.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.4.5.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 4 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.2

Tulis kembali ${(x^{2} + 1)}^{2}$ sebagai $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.3

Perluas $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.4.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.4.1.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.4.1.1.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.4.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.4.1.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.4.1.4

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.4.2

Tambahkan $x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.5

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.6.1

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 8 x^{2} - 4 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.6.2

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 8 x^{2} - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.7

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} x - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.8.1

Kalikan $x^{4}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.8.1.1

Pindahkan $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.8.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.8.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.8.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{1 + 4} - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.8.1.3

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.8.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.8.2.1

Pindahkan $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 (x \cdot x^{2}) - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.8.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.8.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 (x \cdot x^{2}) - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.8.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{1 + 2} - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.8.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.9

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.9.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.9.2

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.10

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.10.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.10.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.10.1.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.10.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.10.1.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.10.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.11

Perluas $(8 x^{2} - 8) (x^{3} + x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.11.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{2} (x^{3} + x) - 8 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.11.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} x - 8 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.11.3

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.12

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.12.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.12.1.1.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.12.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{3 + 2} + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.12.1.1.3

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.12.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.12.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.12.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.3.1.12.1.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.12.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 x^{1 + 2} - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.12.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 x^{3} - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.12.2

Kurangi $8 x^{3}$ dengan $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 0 - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.1.12.3

Tambahkan $8 x^{5}$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.2

Tambahkan $- 4 x^{5}$ dan $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.3.3

Kurangi $8 x$ dengan $- 4 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} - 8 x^{3} - 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{5} - 8 x^{3} - 12 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1.1

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) - 8 x^{3} - 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.4.1.2

Faktorkan $4 x$ dari $- 8 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2}) - 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.4.1.3

Faktorkan $4 x$ dari $- 12 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2}) + 4 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.4.1.4

Faktorkan $4 x$ dari $4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 4 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.4.1.5

Faktorkan $4 x$ dari $4 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 4 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.4.2

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.4.3

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.4.4

Faktorkan $u^{2} - 2 u - 3$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.4.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 3$ dan jumlahnya $- 2$ .

$- 3, 1$

Langkah 2.5.4.4.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$f'' (x) = \frac{4 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.4.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.5

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2} + 1$ dan ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.5.1

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari $4 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Langkah 2.5.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.5.2.1

Faktorkan $x^{2} + 1$ dari ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 2.5.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$