Kalkulus Contoh

$f (x) = {(x^{2} + 7)}^{7}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{7}$ dan $g (x) = x^{2} + 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Langkah 1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 7$ .

$7 {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 7$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$7 {(x^{2} + 7)}^{6} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} [7])$

Langkah 1.2.3

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x + 0)$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x)$

Langkah 1.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$14 {(x^{2} + 7)}^{6} x$

Langkah 1.2.4.3

Susun kembali faktor-faktor dari $14 {(x^{2} + 7)}^{6} x$ .

$f' (x) = 14 x {(x^{2} + 7)}^{6}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $14$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $14 x {(x^{2} + 7)}^{6}$ terhadap $x$ adalah $14 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{6}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{6}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{6}$ .

$14 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{6}] + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{6}$ dan $g (x) = x^{2} + 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 7$ .

$14 (x (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$14 (x (6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 7$ .

$14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 7$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4.3

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4.4.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$14 (x (12 {(x^{2} + 7)}^{5} x) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$14 (x^{1} x (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$14 (x^{1} x^{1} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$14 (x^{1 + 1} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \cdot 1)$

Langkah 2.10

Kalikan ${(x^{2} + 7)}^{6}$ dengan $1$ .

$14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6})$

Langkah 2.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.1

Terapkan sifat distributif.

$14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5})) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

Langkah 2.11.2

Kalikan $12$ dengan $14$ .

$168 (x^{2} ({(x^{2} + 7)}^{5})) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

Langkah 2.11.3

Faktorkan $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ dari $168 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{5} + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.11.3.1

Faktorkan $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ dari $168 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{5}$ .

$14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

Langkah 2.11.3.2

Faktorkan $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ dari $14 {(x^{2} + 7)}^{6}$ .

$14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (x^{2} + 7)$

Langkah 2.11.3.3

Faktorkan $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ dari $14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (x^{2} + 7)$ .

$14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2} + x^{2} + 7)$

Langkah 2.11.4

Tambahkan $12 x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)$

Langkah 3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $14 {(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)$ .

$14 {(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)$