Kalkulus Contoh

$\frac{6}{x^{2} - 16}$

Langkah 1

Tulis $\frac{6}{x^{2} - 16}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{6}{x^{2} - 16}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{6}{x^{2} - 16}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 16}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 16})$

Langkah 2.1.1.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2} - 16}$ sebagai ${(x^{2} - 16)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 16)}^{- 1})$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2} - 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f' (x) = 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Langkah 2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 6 (- {(x^{2} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$f' (x) = - 6 ({(x^{2} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Langkah 2.1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 16$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))$

Langkah 2.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))$

Langkah 2.1.3.4

Karena $- 16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x + 0)$

Langkah 2.1.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.5.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x)$

Langkah 2.1.3.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 6$ .

$f' (x) = - 12 {(x^{2} - 16)}^{- 2} x$

Langkah 2.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 12 \frac{1}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

Langkah 2.1.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Gabungkan $- 12$ dan $\frac{1}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 12}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

Langkah 2.1.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{12}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

Langkah 2.1.5.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{12}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 12}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 2.1.5.4

Pindahkan $12$ ke sebelah kiri $x$ .

$f' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}} = 0$

Langkah 3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$12 x = 0$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $12 x = 0$ dengan $12$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $12 x = 0$ dengan $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $12$ .

$x = 0$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 5

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur penyebut dalam $\frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x^{2} - 16)}^{2} = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

${(x^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Langkah 5.2.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 4$ .

${((x + 4) (x - 4))}^{2} = 0$

Langkah 5.2.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x + 4) (x - 4)$ .

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Langkah 5.2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Langkah 5.2.3

Atur ${(x + 4)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Atur ${(x + 4)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Langkah 5.2.3.2

Selesaikan ${(x + 4)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 5.2.3.2.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 5.2.4

Atur ${(x - 4)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.1

Atur ${(x - 4)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Langkah 5.2.4.2

Selesaikan ${(x - 4)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.4.2.1

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 5.2.4.2.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 5.2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ benar.

$x = - 4, 4$

Langkah 5.3

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Langkah 6

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 4)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 5) = - \frac{12 (- 5)}{{({(- 5)}^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $12$ dengan $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{{({(- 5)}^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{{(25 - 16)}^{2}}$

Langkah 7.2.2.2

Kurangi $16$ dengan $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{9^{2}}$

Langkah 7.2.2.3

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{81}$

Langkah 7.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 60$ dan $81$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1

Faktorkan $3$ dari $- 60$ .

$f' (- 5) = - \frac{3 (- 20)}{81}$

Langkah 7.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $81$ .

$f' (- 5) = - \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 27}$

Langkah 7.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- 5) = - \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 27}$

Langkah 7.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- 5) = - \frac{- 20}{27}$

Langkah 7.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 5) = \frac{20}{27}$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{20}{27}$ .

$\frac{20}{27}$

Langkah 7.3

Pada $x = - 5$ , turunannya adalah $\frac{20}{27}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 4)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 4)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(- 4, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = - \frac{12 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kalikan $12$ dengan $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{({(- 2)}^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{(4 - 16)}^{2}}$

Langkah 8.2.2.2

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{(- 12)}^{2}}$

Langkah 8.2.2.3

Naikkan $- 12$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{144}$

Langkah 8.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 24$ dan $144$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.1

Faktorkan $24$ dari $- 24$ .

$f' (- 2) = - \frac{24 (- 1)}{144}$

Langkah 8.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1.2.1

Faktorkan $24$ dari $144$ .

$f' (- 2) = - \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 6}$

Langkah 8.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- 2) = - \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 6}$

Langkah 8.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- 2) = - \frac{- 1}{6}$

Langkah 8.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 2) = \frac{1}{6}$

Langkah 8.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6}$

Langkah 8.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $\frac{1}{6}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 4, 0)$ .

Meningkat pada $(- 4, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(0, 4)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = - \frac{12 (2)}{{({(2)}^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kalikan $12$ dengan $2$ .

$f' (2) = - \frac{24}{{(2^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2) = - \frac{24}{{(4 - 16)}^{2}}$

Langkah 9.2.2.2

Kurangi $16$ dengan $4$ .

$f' (2) = - \frac{24}{{(- 12)}^{2}}$

Langkah 9.2.2.3

Naikkan $- 12$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2) = - \frac{24}{144}$

Langkah 9.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $24$ dan $144$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Faktorkan $24$ dari $24$ .

$f' (2) = - \frac{24 (1)}{144}$

Langkah 9.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.2.1

Faktorkan $24$ dari $144$ .

$f' (2) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 6}$

Langkah 9.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (2) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 6}$

Langkah 9.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (2) = - \frac{1}{6}$

Langkah 9.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Langkah 9.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $- \frac{1}{6}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 4)$ .

Menurun pada $(0, 4)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 10

Substitusikan nilai dari interval $(4, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (5) = - \frac{12 (5)}{{({(5)}^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 10.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kalikan $12$ dengan $5$ .

$f' (5) = - \frac{60}{{(5^{2} - 16)}^{2}}$

Langkah 10.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (5) = - \frac{60}{{(25 - 16)}^{2}}$

Langkah 10.2.2.2

Kurangi $16$ dengan $25$ .

$f' (5) = - \frac{60}{9^{2}}$

Langkah 10.2.2.3

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (5) = - \frac{60}{81}$

Langkah 10.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $60$ dan $81$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Faktorkan $3$ dari $60$ .

$f' (5) = - \frac{3 (20)}{81}$

Langkah 10.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $81$ .

$f' (5) = - \frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 27}$

Langkah 10.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (5) = - \frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 27}$

Langkah 10.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (5) = - \frac{20}{27}$

Langkah 10.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{20}{27}$ .

$- \frac{20}{27}$

Langkah 10.3

Pada $x = 5$ , turunannya adalah $- \frac{20}{27}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(4, \infty)$ .

Menurun pada $(4, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 11

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 4), (- 4, 0)$

Menurun pada: $(0, 4), (4, \infty)$

Langkah 12