Kalkulus Contoh

$(2 - 2 x) e^{x}$

Langkah 1

Tulis $(2 - 2 x) e^{x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = (2 - 2 x) e^{x}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 2 - 2 x$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$(2 - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [2 - 2 x]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [2 - 2 x]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 2.1.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Langkah 2.1.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 2.1.3.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (- 2 \cdot 1)$

Langkah 2.1.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \cdot - 2$

Langkah 2.1.3.6.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $e^{x}$ .

$(2 - 2 x) e^{x} - 2 \cdot e^{x}$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Langkah 2.1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.2.1

Kurangi $2 e^{x}$ dengan $2 e^{x}$ .

$- 2 x e^{x} + 0$

Langkah 2.1.4.2.2

Tambahkan $- 2 x e^{x}$ dan $0$ .

$- 2 x e^{x}$

Langkah 2.1.4.3

Susun kembali faktor-faktor dari $- 2 x e^{x}$ .

$- 2 e^{x} x$

Langkah 2.1.4.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = - 2 x e^{x}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 x e^{x}$ .

$- 2 x e^{x}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 2 x e^{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 2 x e^{x} = 0$

Langkah 3.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

Langkah 3.3

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.4

Atur $e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $e^{x}$ sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 3.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 3.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 2 x e^{x} = 0$ benar.

$x = 0$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = - 2 x e^{x}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = (2 - 2 x) e^{x}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = - 2 \cdot - 1 \cdot e^{- 1}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = 2 \cdot e^{- 1}$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = 2 \cdot \frac{1}{e}$

Langkah 6.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{e}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{e}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $\frac{2}{e}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, 0)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = - 2 \cdot 1 \cdot e^{1}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f' (1) = - 2 e$

Langkah 7.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- 2 e$ .

$- 2 e$

Langkah 7.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $- 2 e$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, \infty)$ .

Menurun pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, 0)$

Menurun pada: $(0, \infty)$

Langkah 9