Kalkulus Contoh

$(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

Langkah 1

Tulis $(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$ sebagai fungsi.

$f (x) = (x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x - 9$ dan $g (x) = x^{2} - 18 x - 162$ .

$f' (x) = (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 18 x - 162) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 18 x - 162$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [- 162]$ .

$f' (x) = (x - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Langkah 2.1.2.3

Karena $- 18$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 18 x$ terhadap $x$ adalah $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Langkah 2.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Langkah 2.1.2.5

Kalikan $- 18$ dengan $1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Langkah 2.1.2.6

Karena $- 162$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 162$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 + 0) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Langkah 2.1.2.7

Tambahkan $2 x - 18$ dan $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Langkah 2.1.2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 9$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))$

Langkah 2.1.2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (1 + \frac{d}{d x} (- 9))$

Langkah 2.1.2.10

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (1 + 0)$

Langkah 2.1.2.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.11.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) \cdot 1$

Langkah 2.1.2.11.2

Kalikan $x^{2} - 18 x - 162$ dengan $1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + x^{2} - 18 x - 162$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = (x - 9) (2 x) + (x - 9) \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Langkah 2.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = x (2 x) - 9 (2 x) + (x - 9) \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Langkah 2.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = x (2 x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Langkah 2.1.3.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.4.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Langkah 2.1.3.4.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Langkah 2.1.3.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Langkah 2.1.3.4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Langkah 2.1.3.4.5

Kalikan $2$ dengan $- 9$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Langkah 2.1.3.4.6

Pindahkan $- 18$ ke sebelah kiri $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x - 18 \cdot x - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Langkah 2.1.3.4.7

Kalikan $- 9$ dengan $- 18$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x - 18 x + 162 + x^{2} - 18 x - 162$

Langkah 2.1.3.4.8

Kurangi $18 x$ dengan $- 18 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 36 x + 162 + x^{2} - 18 x - 162$

Langkah 2.1.3.4.9

Tambahkan $2 x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 162 - 18 x - 162$

Langkah 2.1.3.4.10

Kurangi $18 x$ dengan $- 36 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 162 - 162$

Langkah 2.1.3.4.11

Kurangi $162$ dengan $162$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 0$

Langkah 2.1.3.4.12

Tambahkan $3 x^{2} - 54 x$ dan $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{2} - 54 x$ .

$3 x^{2} - 54 x$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} - 54 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$3 x^{2} - 54 x = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $3 x$ dari $3 x^{2} - 54 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $3 x$ dari $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 54 x = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $3 x$ dari $- 54 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 18) = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $3 x$ dari $3 x (x) + 3 x (- 18)$ .

$3 x (x - 18) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x - 18 = 0$

Langkah 3.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.5

Atur $x - 18$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $x - 18$ sama dengan $0$ .

$x - 18 = 0$

Langkah 3.5.2

Tambahkan $18$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 18$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $3 x (x - 18) = 0$ benar.

$x = 0, 18$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, 18$ .

$0, 18$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, 18) \cup (18, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 54 \cdot - 1$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot 1 - 54 \cdot - 1$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = 3 - 54 \cdot - 1$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 54$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 + 54$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $3$ dan $54$ .

$f' (- 1) = 57$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $57$ .

$57$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $57$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, 0)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, 18)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $9$ pada pernyataan tersebut.

$f' (9) = 3 {(9)}^{2} - 54 \cdot 9$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (9) = 3 \cdot 81 - 54 \cdot 9$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $81$ .

$f' (9) = 243 - 54 \cdot 9$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 54$ dengan $9$ .

$f' (9) = 243 - 486$

Langkah 7.2.2

Kurangi $486$ dengan $243$ .

$f' (9) = - 243$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 243$ .

$- 243$

Langkah 7.3

Pada $x = 9$ , turunannya adalah $- 243$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 18)$ .

Menurun pada $(0, 18)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(18, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $19$ pada pernyataan tersebut.

$f' (19) = 3 {(19)}^{2} - 54 \cdot 19$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $19$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (19) = 3 \cdot 361 - 54 \cdot 19$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $361$ .

$f' (19) = 1083 - 54 \cdot 19$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $- 54$ dengan $19$ .

$f' (19) = 1083 - 1026$

Langkah 8.2.2

Kurangi $1026$ dengan $1083$ .

$f' (19) = 57$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $57$ .

$57$

Langkah 8.3

Pada $x = 19$ , turunannya adalah $57$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(18, \infty)$ .

Meningkat pada $(18, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, 0), (18, \infty)$

Menurun pada: $(0, 18)$

Langkah 10