Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.1.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.1.3.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.1.3.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.1.3.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.1.3.2.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

Langkah 1.1.1.3.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x \ln (x) + x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.2.2.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.2.2.5

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.2.2.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.2.2.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.2.2.7

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Langkah 1.1.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Langkah 1.1.2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Langkah 1.1.2.4.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 \ln (x) + 3$ .

$2 \ln (x) + 3$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 \ln (x) + 3 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$2 \ln (x) + 3 = 0$

Langkah 1.2.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 \ln (x) = - 3$

Langkah 1.2.3

Bagi setiap suku pada $2 \ln (x) = - 3$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagilah setiap suku di $2 \ln (x) = - 3$ dengan $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Bagilah $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

Langkah 1.2.4

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 1.2.5

Tulis kembali $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

Langkah 1.2.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 1.2.6.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 2

Tentukan domain dari $f (x) = x^{2} \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih besar dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x > 0$

Langkah 2.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > 0}$

Notasi Interval:

$(0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > 0}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.11$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.11) = 2 \ln (0.11) + 3$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Sederhanakan $2 \ln (0.11)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f'' (0.11) = \ln ({0.11}^{2}) + 3$

Langkah 4.2.1.2

Naikkan $0.11$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.11) = \ln (0.0121) + 3$

Langkah 4.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\ln (0.0121) + 3$ .

$\ln (0.0121) + 3$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ karena $f'' (0.11)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (3) = 2 \ln (3) + 3$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $2 \ln (3)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f'' (3) = \ln (3^{2}) + 3$

Langkah 5.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (3) = \ln (9) + 3$

Langkah 5.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\ln (9) + 3$ .

$\ln (9) + 3$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ karena $f'' (3)$ positif.

Cekung ke atas pada $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke bawah pada $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ karena $f'' (x)$ negatif

Cekung ke atas pada $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 7