Kalkulus Contoh

$f (x) = {(x + 4)}^{\frac{6}{7}}$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{6}{7}}$ dan $g (x) = x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{6}{7}}) \frac{d}{d x} (x + 4)$

Langkah 1.1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{6}{7}$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} u^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Langkah 1.1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 4$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Langkah 1.1.1.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Langkah 1.1.1.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Langkah 1.1.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Langkah 1.1.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $7$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{6 - 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Langkah 1.1.1.5.2

Kurangi $7$ dengan $6$ .

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 1}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Langkah 1.1.1.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = \frac{6}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Langkah 1.1.1.6.2

Gabungkan $\frac{6}{7}$ dan ${(x + 4)}^{- \frac{1}{7}}$ .

$f' (x) = \frac{6 {(x + 4)}^{- \frac{1}{7}}}{7} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Langkah 1.1.1.6.3

Pindahkan ${(x + 4)}^{- \frac{1}{7}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Langkah 1.1.1.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Langkah 1.1.1.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (4))$

Langkah 1.1.1.9

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot (1 + 0)$

Langkah 1.1.1.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.10.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}} \cdot 1$

Langkah 1.1.1.10.2

Kalikan $\frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Karena $\frac{6}{7}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{6}{7 {(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{6}{7} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{1}{7}}})$

Langkah 1.1.2.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(x + 4)}^{\frac{1}{7}}}$ sebagai ${({(x + 4)}^{\frac{1}{7}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 4)}^{\frac{1}{7}})}^{- 1})$

Langkah 1.1.2.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 4)}^{\frac{1}{7}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{\frac{1}{7} \cdot - 1})$

Langkah 1.1.2.1.2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{7}$ dan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{\frac{- 1}{7}})$

Langkah 1.1.2.1.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{- \frac{1}{7}})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- \frac{1}{7}}$ dan $g (x) = x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 4$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{7}}) \frac{d}{d x} (x + 4))$

Langkah 1.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{1}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} u^{- \frac{1}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Langkah 1.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 4$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Langkah 1.1.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{7}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{7}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Langkah 1.1.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Langkah 1.1.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $7$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 1 - 7}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Langkah 1.1.2.6.2

Kurangi $7$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 8}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Langkah 1.1.2.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{8}{7}} \frac{d}{d x} (x + 4))$

Langkah 1.1.2.7.2

Gabungkan ${(x + 4)}^{- \frac{8}{7}}$ dan $\frac{1}{7}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{{(x + 4)}^{- \frac{8}{7}}}{7} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4))$

Langkah 1.1.2.7.3

Pindahkan ${(x + 4)}^{- \frac{8}{7}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{7} \cdot (- \frac{1}{7 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4))$

Langkah 1.1.2.7.4

Kalikan $\frac{6}{7}$ dengan $\frac{1}{7 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7 (7 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}})} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Langkah 1.1.2.7.5

Kalikan $7$ dengan $7$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Langkah 1.1.2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Langkah 1.1.2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (4))$

Langkah 1.1.2.10

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot (1 + 0)$

Langkah 1.1.2.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.11.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} \cdot 1$

Langkah 1.1.2.11.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$ .

$- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}}$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- \frac{6}{49 {(x + 4)}^{\frac{8}{7}}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$6 = 0$

Langkah 1.2.3

Karena $6 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2

Tentukan domain dari $f (x) = {(x + 4)}^{\frac{6}{7}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\sqrt[7]{{(x + 4)}^{6}}$

Langkah 2.2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

Grafiknya cekung ke bawah karena turunan keduanya negatif.

Grafik cekung ke bawah

Langkah 4