Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} x^{3} \ln (x)$

Langkah 1

Ubah limit dua arah menjadi limit kanan.

$lim_{x \to 0^{+}} x^{3} \ln (x)$

Langkah 2

Tulis kembali $x^{3} \ln (x)$ sebagai $\frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$

Langkah 3

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

Langkah 3.1.2

Ketika $x$ mendekati $0$ dari kanan, $\ln (x)$ menurun tanpa batas.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

Langkah 3.1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{3}}}$

Langkah 3.1.3.2

Karena pembilangnya tetap dan penyebutnya mendekati $0$ ketika $x$ mendekati $0$ dari kanan, pecahan $\frac{1}{x^{3}}$ mendekati tak hingga.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Langkah 3.1.3.3

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{- \infty}{\infty}$

Langkah 3.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{- \infty}{\infty}$

Langkah 3.2

Karena $\frac{- \infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Langkah 3.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Langkah 3.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Langkah 3.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 x^{- 4}}$

Langkah 3.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 \frac{1}{x^{4}}}$

Langkah 3.3.4.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{x^{4}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3}{x^{4}}}$

Langkah 3.3.4.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{3}{x^{4}}}$

Langkah 3.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \frac{x^{4}}{3})$

Langkah 3.5

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{x^{4}}{3}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{4}}{x \cdot 3}$

Langkah 3.6

Hapus faktor persekutuan dari $x^{4}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

Langkah 3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x (3)}$

Langkah 3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

Langkah 3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{3}}{3}$

Langkah 4

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{3}}{3}$

Langkah 4.2

Pindahkan suku $\frac{1}{3}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- \frac{1}{3} lim_{x \to 0^{+}} x^{3}$

Langkah 4.3

Pindahkan pangkat $3$ dari $x^{3}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$- \frac{1}{3} {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}$

Langkah 5

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Langkah 6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0$

Langkah 6.2

Kalikan $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3})$

Langkah 6.2.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$0$