Kalkulus Contoh

$y = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

Langkah 1

Tulis $y = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ sebagai fungsi.

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{4} + 4 x^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x^{3} + 12 x^{2}$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 x^{3} + 12 x^{2} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $12 x^{2}$ dari $12 x^{3} + 12 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $12 x^{2}$ dari $12 x^{3}$ .

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $12 x^{2}$ dari $12 x^{2}$ .

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (1) = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $12 x^{2}$ dari $12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (1)$ .

$12 x^{2} (x + 1) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 3.4

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 3.4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 3.4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 3.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $12 x^{2} (x + 1) = 0$ benar.

$x = 0, - 1$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, - 1$ .

$0, - 1$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = 12 {(- 2)}^{3} + 12 {(- 2)}^{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 2) = 12 \cdot - 8 + 12 {(- 2)}^{2}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $- 8$ .

$f' (- 2) = - 96 + 12 {(- 2)}^{2}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2) = - 96 + 12 \cdot 4$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $12$ dengan $4$ .

$f' (- 2) = - 96 + 48$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 96$ dan $48$ .

$f' (- 2) = - 48$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 48$ .

$- 48$

Langkah 6.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $- 48$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 1)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 1)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{8}$ ke dalam pembilangnya.

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.5.2

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.5.3

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.5.5

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{- 1}{2}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.6

Gabungkan $3$ dan $\frac{- 1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot - 1}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.7

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.9

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.9.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Langkah 7.2.1.9.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Langkah 7.2.1.10

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Langkah 7.2.1.11

Kalikan $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

Langkah 7.2.1.12

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (\frac{1}{2^{2}})$

Langkah 7.2.1.13

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (\frac{1}{4})$

Langkah 7.2.1.14

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.14.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 4 (3) (\frac{1}{4})$

Langkah 7.2.1.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 4 \cdot (3 (\frac{1}{4}))$

Langkah 7.2.1.14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 3$

Langkah 7.2.2

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 7.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Langkah 7.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

Langkah 7.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.5.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 6}{2}$

Langkah 7.2.5.2

Tambahkan $- 3$ dan $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

Langkah 7.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Langkah 7.3

Pada $x = - \frac{1}{2}$ , turunannya adalah $\frac{3}{2}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 1, 0)$ .

Meningkat pada $(- 1, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} + 12 {(1)}^{2}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 12 \cdot 1 + 12 {(1)}^{2}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$f' (1) = 12 + 12 {(1)}^{2}$

Langkah 8.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 12 + 12 \cdot 1$

Langkah 8.2.1.4

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$f' (1) = 12 + 12$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $12$ dan $12$ .

$f' (1) = 24$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $24$ .

$24$

Langkah 8.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $24$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 1, 0), (0, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - 1)$

Langkah 10