Kalkulus Contoh

$\frac{1}{3 + t}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali $\frac{1}{3 + t}$ sebagai ${(3 + t)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [{(3 + t)}^{- 1}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{- 1}$ dan $g (t) = 3 + t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 + t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [3 + t]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d t} [3 + t]$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 + t$ .

$- {(3 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [3 + t]$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 + t$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$- {(3 + t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 1.3.2

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$- {(3 + t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 1.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d t} [t]$ .

$- {(3 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- {(3 + t)}^{- 2} \cdot 1$

Langkah 1.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- {(3 + t)}^{- 2}$

Langkah 1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (t) = - \frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ adalah $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ di mana $f (t) = - 1$ dan $g (t) = \frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ sebagai ${({(3 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d t} [{({(3 + t)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(3 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{d}{d t} [{(3 + t)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{d}{d t} [{(3 + t)}^{- 2}] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{- 2}$ dan $g (t) = 3 + t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 + t$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 + t$ .

$- (- 2 {(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2 ({(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [3 + t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.4.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 + t$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.4.3

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.4.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d t} [t]$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t] + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.4.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.4.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Langkah 2.4.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(3 + t)}^{2}} \cdot 0$

Langkah 2.4.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.8.1

Kalikan $\frac{1}{{(3 + t)}^{2}}$ dengan $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3} + 0$

Langkah 2.4.8.2

Tambahkan $2 {(3 + t)}^{- 3}$ dan $0$ .

$2 {(3 + t)}^{- 3}$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(3 + t)}^{3}}$

Langkah 2.5.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{{(3 + t)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(3 + t)}^{3}}$

Langkah 2.5.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (t) = \frac{2}{{(t + 3)}^{3}}$