Kalkulus Contoh

$\frac{17}{x^{2} + 12}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Karena $17$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{17}{x^{2} + 12}$ terhadap $x$ adalah $17 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$ .

$17 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$

Langkah 1.1.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2} + 12}$ sebagai ${(x^{2} + 12)}^{- 1}$ .

$17 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{- 1}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2} + 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 12$ .

$17 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$17 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 12$ .

$17 (- {(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Langkah 1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $17$ .

$- 17 ({(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Langkah 1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 12$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])$

Langkah 1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [12])$

Langkah 1.3.4

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + 0)$

Langkah 1.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x)$

Langkah 1.3.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 17$ .

$- 34 {(x^{2} + 12)}^{- 2} x$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 34 \frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

Langkah 1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Gabungkan $- 34$ dan $\frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ .

$\frac{- 34}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

Langkah 1.4.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{34}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

Langkah 1.4.2.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{34}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 34}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Langkah 1.4.2.4

Pindahkan $34$ ke sebelah kiri $x$ .

$f' (x) = - \frac{34 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $- 34$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{34 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 34 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$ .

$- 34 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}}$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Langkah 2.3.3

Kalikan ${(x^{2} + 12)}^{2}$ dengan $1$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} + 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 12$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Langkah 2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Langkah 2.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 12$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Langkah 2.5

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Langkah 2.5.2

Faktorkan $x^{2} + 12$ dari ${(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Faktorkan $x^{2} + 12$ dari ${(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Langkah 2.5.2.2

Faktorkan $x^{2} + 12$ dari $- 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Langkah 2.5.2.3

Faktorkan $x^{2} + 12$ dari $(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Langkah 2.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Faktorkan $x^{2} + 12$ dari ${(x^{2} + 12)}^{4}$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Langkah 2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Langkah 2.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Langkah 2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 12$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Langkah 2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Langkah 2.9

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Langkah 2.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.10.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Langkah 2.10.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Langkah 2.11

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Langkah 2.12

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Langkah 2.13

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Langkah 2.14

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Langkah 2.15

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$- 34 \frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Langkah 2.16

Gabungkan $- 34$ dan $\frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ .

$\frac{- 34 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Langkah 2.17

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{34 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Langkah 2.18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.18.1

Terapkan sifat distributif.

$- \frac{34 (- 3 x^{2}) + 34 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Langkah 2.18.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.18.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $34$ .

$- \frac{- 102 x^{2} + 34 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Langkah 2.18.2.2

Kalikan $34$ dengan $12$ .

$f'' (x) = - \frac{- 102 x^{2} + 408}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$