Kalkulus Contoh

$\frac{9}{\sqrt[3]{x + 1}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x + 1}$ sebagai ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

Langkah 1.1.2

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{9}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ terhadap $x$ adalah $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

Langkah 1.1.3

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ sebagai ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Langkah 1.1.3.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Langkah 1.1.3.2.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 1$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Langkah 1.1.3.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$9 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 1$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{1}{3}$ .

$9 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 1.6.2

Kurangi $3$ dengan $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 1.8

Gabungkan ${(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$9 (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 1.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.9.1

Pindahkan ${(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 1.9.2

Kalikan $- 1$ dengan $9$ .

$- 9 (\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 1.10

Gabungkan $\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ dan $- 9$ .

$\frac{- 9}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 1.11

Faktorkan $3$ dari $- 9$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 1.12

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.12.1

Faktorkan $3$ dari $3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3 ({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 1.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 1.12.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 1.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 1.14

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.16

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

Langkah 1.17

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.17.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Langkah 1.17.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = - \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}]$

Langkah 2.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ sebagai ${({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Langkah 2.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

Langkah 2.1.2.2.2

Kalikan $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.2.1

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

Langkah 2.1.2.2.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 4}{3}}]$

Langkah 2.1.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 1$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - \frac{4}{3}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} u^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.6.2

Kurangi $3$ dengan $- 4$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.8

Gabungkan ${(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}$ dan $\frac{4}{3}$ .

$- 3 (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.9

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri ${(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}$ .

$- 3 (- \frac{4 \cdot {(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.9.2

Pindahkan ${(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.9.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$3 (\frac{4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Langkah 2.10

Gabungkan $\frac{4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}}$ dan $3$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.11

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$\frac{12}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.12

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.13

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.13.1

Faktorkan $3$ dari $3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.14

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.16

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} (1 + 0)$

Langkah 2.17

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.17.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \cdot 1$

Langkah 2.17.2

Kalikan $\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}}$