Kalkulus Contoh

$y = x$ , $y = x^{2}$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (x)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{2}$

Langkah 2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

Langkah 2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$V = x^{2} - x^{4}$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))$

Langkah 8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Langkah 8.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$V = π ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Langkah 8.2.2

Evaluasi $\frac{x^{5}}{5}$ pada $1$ dan pada $0$ .

$V = π (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.5

Tambahkan $\frac{1}{3}$ dan $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 8.2.3.7

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))$

Langkah 8.2.3.8

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.8.1

Faktorkan $5$ dari $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Langkah 8.2.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.8.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Langkah 8.2.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Langkah 8.2.3.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))$

Langkah 8.2.3.8.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

Langkah 8.2.3.9

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} + 0))$

Langkah 8.2.3.10

Tambahkan $\frac{1}{5}$ dan $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

Langkah 8.2.3.11

Untuk menuliskan $\frac{1}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Langkah 8.2.3.12

Untuk menuliskan $- \frac{1}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 8.2.3.13

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.13.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 8.2.3.13.2

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Langkah 8.2.3.13.3

Kalikan $\frac{1}{5}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

Langkah 8.2.3.13.4

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

Langkah 8.2.3.14

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{5 - 3}{15})$

Langkah 8.2.3.15

Kurangi $3$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{2}{15})$

Langkah 8.2.3.16

Gabungkan $π$ dan $\frac{2}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 2}{15}$

Langkah 8.2.3.17

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = \frac{2 π}{15}$

Langkah 9

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = \frac{2 π}{15}$

Bentuk Desimal:

$V = 0.41887902 \dots$

Langkah 10