Kalkulus Contoh

$y = \arctan (\sqrt{7 x^{2} - 1})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{7 x^{2} - 1}$ sebagai ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \arctan ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \arctan (x)$ dan $g (x) = {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $\arctan (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2

Kalikan eksponen dalam ${({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

$\frac{1}{1 + 7 x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.4

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{7 x^{2} + 0} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.4.2

Tambahkan $7 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = 7 x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $7 x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Langkah 4.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Langkah 4.5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $7 x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Langkah 4.6

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Langkah 4.7

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Langkah 4.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Langkah 4.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Langkah 4.9.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Langkah 4.10

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.10.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Langkah 4.10.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{{(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Langkah 4.10.3

Pindahkan ${(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Langkah 4.10.4

Kalikan $\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{7 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (7 x^{2})} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1]$

Langkah 4.10.5

Kalikan $7$ dengan $2$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1]$

Langkah 4.11

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $7 x^{2} - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 4.12

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 4.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 4.14

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Langkah 4.15

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x + 0)$

Langkah 4.16

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.16.1

Tambahkan $14 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x)$

Langkah 4.16.2

Gabungkan $14$ dan $\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ .

$\frac{14}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} x$

Langkah 4.16.3

Gabungkan $\frac{14}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ dan $x$ .

$\frac{14 x}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 4.16.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{14 x}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 4.16.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 4.17

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{1}}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 4.18

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Langkah 4.19

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.19.1

Faktorkan $x$ dari ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)}$

Langkah 4.19.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \cdot 1}{x ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)}$

Langkah 4.19.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x}$

Langkah 4.20

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$