Kalkulus Contoh

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |))$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = | \sec (x) + \tan (x) |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $| \sec (x) + \tan (x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \sec (x) + \tan (x) |]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \sec (x) + \tan (x) |]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $| \sec (x) + \tan (x) |$ .

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} \frac{d}{d x} [| \sec (x) + \tan (x) |]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = | x |$ dan $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $| u_{2} |$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} (\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| \sec (x) + \tan (x) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Langkah 3.3

Kalikan $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| \sec (x) + \tan (x) |}$ dengan $\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |}$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| \sec (x) + \tan (x) | | \sec (x) + \tan (x) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Langkah 3.4

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x)) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Langkah 3.5

Naikkan $\sec (x) + \tan (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{1} (\sec (x) + \tan (x)) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Langkah 3.6

Naikkan $\sec (x) + \tan (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{1} {(\sec (x) + \tan (x))}^{1} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Langkah 3.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Langkah 3.8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sec (x) + \tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Langkah 3.9

Turunan dari $\sec (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Langkah 3.10

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Langkah 3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ .

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |}$

Langkah 3.11.2

Hapus suku-suku non-negatif dari nilai mutlak.

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{\sec (x) + \tan (x)}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.3

Hapus faktor persekutuan dari $\sec (x) + \tan (x)$ dan ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.3.1

Kalikan dengan $1$ .

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \cdot 1}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Langkah 3.11.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.3.2.1

Faktorkan $\sec (x) + \tan (x)$ dari ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ .

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \cdot 1}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))}$

Langkah 3.11.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \cdot 1}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))}$

Langkah 3.11.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Langkah 3.11.4

Terapkan sifat distributif.

$\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Langkah 3.11.5

Kalikan $\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.5.1

Gabungkan $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ dan $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Langkah 3.11.5.2

Gabungkan $\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ dan $\tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Langkah 3.11.6

Gabungkan $\sec^{2} (x)$ dan $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Langkah 3.11.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Langkah 3.11.8

Faktorkan $\sec (x)$ dari $\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.8.1

Faktorkan $\sec (x)$ dari $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Langkah 3.11.8.2

Faktorkan $\sec (x)$ dari $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Langkah 3.11.8.3

Faktorkan $\sec (x)$ dari $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$