Kalkulus Contoh

$y = \ln (| 3 x^{2} - 7 x |)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| 3 x^{2} - 7 x |))$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = | 3 x^{2} - 7 x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $| 3 x^{2} - 7 x |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

Langkah 3.1.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

Langkah 3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $| 3 x^{2} - 7 x |$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 7 x |]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = | x |$ dan $g (x) = 3 x^{2} - 7 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $3 x^{2} - 7 x$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $| u_{2} |$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 x^{2} - 7 x$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |} (\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x])$

Langkah 3.3

Kalikan $\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x |}$ dengan $\frac{1}{| 3 x^{2} - 7 x |}$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| 3 x^{2} - 7 x | | 3 x^{2} - 7 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Langkah 3.4

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| (3 x^{2} - 7 x) (3 x^{2} - 7 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Langkah 3.5

Naikkan $3 x^{2} - 7 x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} (3 x^{2} - 7 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Langkah 3.6

Naikkan $3 x^{2} - 7 x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} {(3 x^{2} - 7 x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Langkah 3.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Langkah 3.8

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]$

Langkah 3.9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - 7 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Langkah 3.10

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Langkah 3.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Langkah 3.12

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x + \frac{d}{d x} [- 7 x])$

Langkah 3.13

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7 x$ terhadap $x$ adalah $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.14

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7 \cdot 1)$

Langkah 3.15

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7)$

Langkah 3.16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.1

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |} (6 x - 7)$ .

$(6 x - 7) \frac{3 x^{2} - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

Langkah 3.16.2

Faktorkan $x$ dari $3 x^{2} - 7 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.2.1

Faktorkan $x$ dari $3 x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x) - 7 x}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

Langkah 3.16.2.2

Faktorkan $x$ dari $- 7 x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x) + x \cdot - 7}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

Langkah 3.16.2.3

Faktorkan $x$ dari $x (3 x) + x \cdot - 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(3 x^{2} - 7 x)}^{2} |}$

Langkah 3.16.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.3.1

Faktorkan $x$ dari $3 x^{2} - 7 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.3.1.1

Faktorkan $x$ dari $3 x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x) - 7 x)}^{2} |}$

Langkah 3.16.3.1.2

Faktorkan $x$ dari $- 7 x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x) + x \cdot - 7)}^{2} |}$

Langkah 3.16.3.1.3

Faktorkan $x$ dari $x (3 x) + x \cdot - 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| {(x (3 x - 7))}^{2} |}$

Langkah 3.16.3.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $x (3 x - 7)$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} {(3 x - 7)}^{2} |}$

Langkah 3.16.3.3

Tulis kembali ${(3 x - 7)}^{2}$ sebagai $(3 x - 7) (3 x - 7)$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ((3 x - 7) (3 x - 7)) |}$

Langkah 3.16.3.4

Perluas $(3 x - 7) (3 x - 7)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)) |}$

Langkah 3.16.3.4.2

Terapkan sifat distributif.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)) |}$

Langkah 3.16.3.4.3

Terapkan sifat distributif.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Langkah 3.16.3.5

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.3.5.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Langkah 3.16.3.5.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.3.5.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Langkah 3.16.3.5.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Langkah 3.16.3.5.1.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Langkah 3.16.3.5.1.4

Kalikan $- 7$ dengan $3$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7) |}$

Langkah 3.16.3.5.1.5

Kalikan $3$ dengan $- 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7) |}$

Langkah 3.16.3.5.1.6

Kalikan $- 7$ dengan $- 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49) |}$

Langkah 3.16.3.5.2

Kurangi $21 x$ dengan $- 21 x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x + 49) |}$

Langkah 3.16.3.6

Terapkan sifat distributif.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

Langkah 3.16.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.3.7.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

Langkah 3.16.3.7.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} - 42 x^{2} x + x^{2} \cdot 49 |}$

Langkah 3.16.3.7.3

Pindahkan $49$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2} x^{2} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

Langkah 3.16.3.8

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.3.8.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.3.8.1.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 (x^{2} x^{2}) - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

Langkah 3.16.3.8.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{2 + 2} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

Langkah 3.16.3.8.1.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{2} x + 49 \cdot x^{2} |}$

Langkah 3.16.3.8.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.3.8.2.1

Pindahkan $x$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 (x \cdot x^{2}) + 49 \cdot x^{2} |}$

Langkah 3.16.3.8.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.3.8.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 (x^{1} x^{2}) + 49 \cdot x^{2} |}$

Langkah 3.16.3.8.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{1 + 2} + 49 \cdot x^{2} |}$

Langkah 3.16.3.8.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 \cdot x^{2} |}$

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| 9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 x^{2} |}$

Langkah 3.16.3.9

Faktorkan $x^{2}$ dari $9 x^{4} - 42 x^{3} + 49 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.3.9.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $9 x^{4}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) - 42 x^{3} + 49 x^{2} |}$

Langkah 3.16.3.9.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 42 x^{3}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + 49 x^{2} |}$

Langkah 3.16.3.9.3

Faktorkan $x^{2}$ dari $49 x^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

Langkah 3.16.3.9.4

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 42 x)$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x) + x^{2} \cdot 49 |}$

Langkah 3.16.3.9.5

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{2} (9 x^{2} - 42 x) + x^{2} \cdot 49$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} (9 x^{2} - 42 x + 49) |}$

Langkah 3.16.3.10

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.3.10.1

Tulis kembali $9 x^{2}$ sebagai ${(3 x)}^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 42 x + 49) |}$

Langkah 3.16.3.10.2

Tulis kembali $49$ sebagai $7^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 42 x + 7^{2}) |}$

Langkah 3.16.3.10.3

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$42 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 7$

Langkah 3.16.3.10.4

Tulis kembali polinomialnya.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 7 + 7^{2}) |}$

Langkah 3.16.3.10.5

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = 3 x$ dan $b = 7$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{| x^{2} {(3 x - 7)}^{2} |}$

Langkah 3.16.4

Hapus suku-suku non-negatif dari nilai mutlak.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x^{2} {(3 x - 7)}^{2}}$

Langkah 3.16.5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.5.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} {(3 x - 7)}^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x (x {(3 x - 7)}^{2})}$

Langkah 3.16.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(6 x - 7) \frac{x (3 x - 7)}{x (x {(3 x - 7)}^{2})}$

Langkah 3.16.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(6 x - 7) \frac{3 x - 7}{x {(3 x - 7)}^{2}}$

Langkah 3.16.6

Hapus faktor persekutuan dari $3 x - 7$ dan ${(3 x - 7)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.6.1

Kalikan dengan $1$ .

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{x {(3 x - 7)}^{2}}$

Langkah 3.16.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.6.2.1

Faktorkan $3 x - 7$ dari $x {(3 x - 7)}^{2}$ .

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{(3 x - 7) (x (3 x - 7))}$

Langkah 3.16.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$(6 x - 7) \frac{(3 x - 7) \cdot 1}{(3 x - 7) (x (3 x - 7))}$

Langkah 3.16.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$(6 x - 7) \frac{1}{x (3 x - 7)}$

Langkah 3.16.7

Kalikan $6 x - 7$ dengan $\frac{1}{x (3 x - 7)}$ .

$\frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 7}{x (3 x - 7)}$