Kalkulus Contoh

$y = \ln (\sqrt{x + 7})$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 7}$ sebagai ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \ln ({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln ({(x + 7)}^{\frac{1}{2}}))$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.2

Turunan dari $\ln (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x + 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $x + 7$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 7])$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ adalah $n {u_{2}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x + 7$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Langkah 4.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Langkah 4.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Langkah 4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Langkah 4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Langkah 4.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Langkah 4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Langkah 4.8

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Langkah 4.9

Pindahkan ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

Langkah 4.10

Kalikan $\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}} {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 7]$

Langkah 4.11

Kalikan ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.1

Pindahkan ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(x + 7)}^{\frac{1}{2}} {(x + 7)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x + 7]$

Langkah 4.11.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 7]$

Langkah 4.11.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 7]$

Langkah 4.11.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 7]$

Langkah 4.11.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2 {(x + 7)}^{1}} \frac{d}{d x} [x + 7]$

Langkah 4.12

Sederhanakan $2 {(x + 7)}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (x + 7)} \frac{d}{d x} [x + 7]$

Langkah 4.13

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 7$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{2 (x + 7)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Langkah 4.14

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (x + 7)} (1 + \frac{d}{d x} [7])$

Langkah 4.15

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 (x + 7)} (1 + 0)$

Langkah 4.16

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.16.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 (x + 7)} \cdot 1$

Langkah 4.16.2

Kalikan $\frac{1}{2 (x + 7)}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2 (x + 7)}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{1}{2 (x + 7)}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 (x + 7)}$