Kalkulus Contoh

$y = x^{2} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ dan $g (x) = 4 - 6 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 - 6 x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 - 6 x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.6.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.7.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan ${(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{2} (\frac{{(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.7.3

Pindahkan ${(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.7.4

Gabungkan $\frac{1}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - 6 x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.9

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.10

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.11

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.12

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.12.1

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.12.2

Faktorkan $3$ dari $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.13

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.13.1

Faktorkan $3$ dari $3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 ({(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{(2) x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- \frac{2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (2 x) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.16

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.16.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 \frac{2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} x + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.16.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 2 (2 x^{2})}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} x + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.16.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} x + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.16.4

Gabungkan $\frac{- 4 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ dan $x$ .

$\frac{- 4 x^{2} x}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.17

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 4 (x^{1} x^{2})}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.18

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- 4 x^{1 + 2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.19

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.19.1

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.19.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{(4) x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.20

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- \frac{4 x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} (2 x)$

Langkah 3.21

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.21.1

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} x$

Langkah 3.21.2

Pindahkan ${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$

Langkah 3.22

Untuk menuliskan $2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}} {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.23

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}} {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.24

Kalikan ${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ dengan ${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.24.1

Pindahkan ${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x ({(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}} {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}})}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.24.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.24.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.24.4

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.24.5

Bagilah $3$ dengan $3$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{1}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.25

Sederhanakan $2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x (- 6 x^{2} + 4)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.26

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.26.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x (- 6 x^{2}) + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.26.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.26.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.26.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.26.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.26.2.1.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 (x^{2} x) + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.26.2.1.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.26.2.1.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.26.2.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.26.2.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 x^{3} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.26.2.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 6$ .

$\frac{- 4 x^{3} - 12 x^{3} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.26.2.1.4

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{- 4 x^{3} - 12 x^{3} + 8 x}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.26.2.2

Kurangi $12 x^{3}$ dengan $- 4 x^{3}$ .

$\frac{- 16 x^{3} + 8 x}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.26.3

Faktorkan $8 x$ dari $- 16 x^{3} + 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.26.3.1

Faktorkan $8 x$ dari $- 16 x^{3}$ .

$\frac{8 x (- 2 x^{2}) + 8 x}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.26.3.2

Faktorkan $8 x$ dari $8 x$ .

$\frac{8 x (- 2 x^{2}) + 8 x (1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.26.3.3

Faktorkan $8 x$ dari $8 x (- 2 x^{2}) + 8 x (1)$ .

$\frac{8 x (- 2 x^{2} + 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.26.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x^{2}$ .

$\frac{8 x (- (2 x^{2}) + 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.26.5

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$\frac{8 x (- (2 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.26.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{8 x (- (2 x^{2} - 1))}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.26.7

Tulis kembali $- (2 x^{2} - 1)$ sebagai $- 1 (2 x^{2} - 1)$ .

$\frac{8 x (- 1 (2 x^{2} - 1))}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.26.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{(8 x) (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.26.9

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{(8 x) (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{8 x (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = - \frac{8 x (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$