Kalkulus Contoh

$y = x^{- 4 \cos (x)}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{- 4 \cos (x)})$

Langkah 2

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Tulis kembali $x^{- 4 \cos (x)}$ sebagai $e^{\ln (x^{- 4 \cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{- 4 \cos (x)})}]$

Langkah 3.1.2

Perluas $\ln (x^{- 4 \cos (x)})$ dengan memindahkan $- 4 \cos (x)$ ke luar logaritma.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 \cos (x) \ln (x)}]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - 4 \cos (x) \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- 4 \cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x) \ln (x)]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x) \ln (x)]$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 4 \cos (x) \ln (x)$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x) \ln (x)]$

Langkah 3.3

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 \cos (x) \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)])$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Langkah 3.5

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Langkah 3.6

Gabungkan $\cos (x)$ dan $\frac{1}{x}$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Langkah 3.7

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x))))$

Langkah 3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Terapkan sifat distributif.

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 \frac{\cos (x)}{x} - 4 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Langkah 3.8.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 \frac{\cos (x)}{x}) + e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Langkah 3.8.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{\cos (x)}{x}$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \frac{- 4 \cos (x)}{x} + e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Langkah 3.8.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- \frac{4 \cos (x)}{x}) + e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Langkah 3.8.3.3

Gabungkan $e^{- 4 \cos (x) \ln (x)}$ dan $\frac{4 \cos (x)}{x}$ .

$- \frac{e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (4 \cos (x))}{x} + e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Langkah 3.8.3.4

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $e^{- 4 \cos (x) \ln (x)}$ .

$- \frac{4 \cdot e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Langkah 3.8.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$- \frac{4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (4 \ln (x)) \sin (x)$

Langkah 3.8.4

Susun kembali suku-suku.

$4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) - \frac{4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = 4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) - \frac{4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

Langkah 5

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) - \frac{4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$