Kalkulus Contoh

$y = x^{2} \sqrt{x^{2} + 9}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} + 9}$ sebagai ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 9$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 9$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.7.3

Pindahkan ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.7.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [9]) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.10

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.11

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.11.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.11.3

Gabungkan $\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x^{2} x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.12

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2})}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.13

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{1 + 2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.14

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.14.1

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{3}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 4.15

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Langkah 4.16

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x$

Langkah 4.17

Gabungkan $\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} x$ menggunakan penyebut umum.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.17.1

Pindahkan ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.17.2

Untuk menuliskan $2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.17.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.18

Kalikan ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.18.1

Pindahkan ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{3} + 2 x ({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.18.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.18.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.18.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.18.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 9)}^{1}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.19

Sederhanakan $2 x {(x^{2} + 9)}^{1}$ .

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.20

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.20.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.20.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.20.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.20.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.20.2.1.1.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.20.2.1.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.20.2.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.20.2.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.20.2.1.1.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{3} + 2 x \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.20.2.1.2

Kalikan $9$ dengan $2$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{3} + 18 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.20.2.2

Tambahkan $x^{3}$ dan $2 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} + 18 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.20.3

Faktorkan $3 x$ dari $3 x^{3} + 18 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.20.3.1

Faktorkan $3 x$ dari $3 x^{3}$ .

$\frac{3 x (x^{2}) + 18 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.20.3.2

Faktorkan $3 x$ dari $18 x$ .

$\frac{3 x (x^{2}) + 3 x (6)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.20.3.3

Faktorkan $3 x$ dari $3 x (x^{2}) + 3 x (6)$ .

$\frac{3 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{3 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$