Kalkulus Contoh

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{10^{i}}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri tak hingga dapat ditentukan menggunakan rumus $\frac{a}{1 - r}$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{i}$ dan $a_{i + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{\frac{1}{10^{i + 1}}}{\frac{1}{10^{i}}}$

Langkah 2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$r = \frac{1}{10^{i + 1}} \cdot 10^{i}$

Langkah 2.2.2

Gabungkan $\frac{1}{10^{i + 1}}$ dan $10^{i}$ .

$r = \frac{10^{i}}{10^{i + 1}}$

Langkah 2.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $10^{i}$ dan $10^{i + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Faktorkan $10^{i + 1}$ dari $10^{i}$ .

$r = \frac{10^{i + 1} \cdot 10^{i - (i + 1)}}{10^{i + 1}}$

Langkah 2.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{10^{i + 1} \cdot 10^{i - (i + 1)}}{10^{i + 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{10^{i + 1} \cdot 10^{i - (i + 1)}}{10^{i + 1} \cdot 1}$

Langkah 2.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{10^{i - (i + 1)}}{1}$

Langkah 2.2.3.2.4

Bagilah $10^{i - (i + 1)}$ dengan $1$ .

$r = 10^{i - (i + 1)}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$r = 10^{i - i - 1 \cdot 1}$

Langkah 2.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$r = 10^{i - i - 1}$

Langkah 2.2.5

Kurangi $i$ dengan $i$ .

$r = 10^{0 - 1}$

Langkah 2.2.6

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$r = 10^{- 1}$

Langkah 2.2.7

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{10}$

Langkah 3

Karena $| r | < 1$ , deretnya konvergen.

Langkah 4

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ untuk $i$ ke dalam $\frac{1}{10^{i}}$ .

$a = \frac{1}{10^{1}}$

Langkah 4.2

Evaluasi eksponennya.

$a = \frac{1}{10}$

Langkah 5

Substitusikan nilai rasio dan suku pertama ke dalam rumus penjumlahan.

$\frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}}$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{10}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{\frac{10}{10} - \frac{1}{10}}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{\frac{10 - 1}{10}}$

Langkah 6.2.3

Kurangi $1$ dengan $10$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{\frac{9}{10}}$

Langkah 6.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{10} (1 (\frac{10}{9}))$

Langkah 6.4

Kalikan $\frac{10}{9}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{10}{9}$

Langkah 6.5

Batalkan faktor persekutuan dari $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{10}{9}$

Langkah 6.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{9}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{9}$

Bentuk Desimal:

$0.\overline{1}$