Kalkulus Contoh

$\sum_{i = 1}^{9} {(\frac{1}{3})}^{i}$

Langkah 1

Jumlah deret geometri berhingga dapat ditentukan menggunakan rumus $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ di mana $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio antara dua suku berturut-turut.

Langkah 2

Tentukan rasio dari dua suku berturut-turut dengan memasukkan ke dalam rumus $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Substitusikan $a_{i}$ dan $a_{i + 1}$ ke dalam rumus untuk $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i + 1}}{{(\frac{1}{3})}^{i}}$

Langkah 2.2

Hapus faktor persekutuan dari ${(\frac{1}{3})}^{i + 1}$ dan ${(\frac{1}{3})}^{i}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan ${(\frac{1}{3})}^{i}$ dari ${(\frac{1}{3})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{i}}$

Langkah 2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{i} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{i} \frac{1}{3}}{{(\frac{1}{3})}^{i} \cdot 1}$

Langkah 2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$r = \frac{\frac{1}{3}}{1}$

Langkah 2.2.2.4

Bagilah $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$r = \frac{1}{3}$

Langkah 3

Tentukan suku pertama dalam deret dengan mensubstitusikan ke dalam batas bawah dan menyederhanakannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ untuk $i$ ke dalam ${(\frac{1}{3})}^{i}$ .

$a = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

$a = \frac{1}{3}$

Langkah 4

Substitusikan nilai rasio, suku pertama, dan banyaknya suku ke dalam rumus penjumlahan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{9}}{1 - \frac{1}{3}}$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan pembilang dan penyebut dari pecahan dengan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kalikan $\frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{9}}{1 - \frac{1}{3}}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{9}}{1 - \frac{1}{3}})$

Langkah 5.1.2

Gabungkan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 (1 - {(\frac{1}{3})}^{9})}{3 (1 - \frac{1}{3})}$

Langkah 5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{9})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{1}{3})}$

Langkah 5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{9})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Langkah 5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{9})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 1}{3})}$

Langkah 5.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{9})}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- {(\frac{1}{3})}^{9})}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 (- \frac{1^{9}}{3^{9}})}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1^{9}}{3^{9}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{9}}{3^{9}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3.2

Faktorkan $3$ dari $3^{9}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{9}}{3 \cdot 3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + 3 \frac{- 1^{9}}{3 \cdot 3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1^{9}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 1}{6561}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 + \frac{- 1}{6561}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - \frac{1}{6561}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.8

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6561}{6561}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot \frac{6561}{6561} - \frac{1}{6561}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.9

Gabungkan $3$ dan $\frac{6561}{6561}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 6561}{6561} - \frac{1}{6561}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot 6561 - 1}{6561}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.11.1

Kalikan $3$ dengan $6561$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{19683 - 1}{6561}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.4.11.2

Kurangi $1$ dengan $19683$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{19682}{6561}}{3 \cdot 1 - 1}$

Langkah 5.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{19682}{6561}}{3 - 1}$

Langkah 5.5.2

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{19682}{6561}}{2}$

Langkah 5.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{1}{3} (\frac{19682}{6561} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 5.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Faktorkan $2$ dari $19682$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2 (9841)}{6561} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 5.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{3} (\frac{2 \cdot 9841}{6561} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 5.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{9841}{6561}$

Langkah 5.8

Kalikan $\frac{1}{3} \cdot \frac{9841}{6561}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{9841}{6561}$ .

$\frac{9841}{3 \cdot 6561}$

Langkah 5.8.2

Kalikan $3$ dengan $6561$ .

$\frac{9841}{19683}$

Langkah 6

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{9841}{19683}$

Bentuk Desimal:

$0.49997459 \dots$