Kalkulus Contoh

$\sum_{j = 3}^{5} \frac{1}{j^{2} - 3}$

Langkah 1

Perluas barisan untuk setiap nilai dari $j$ .

$\frac{1}{3^{2} - 3} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Kalikan $\frac{1}{3^{2} - 3}$ dengan $\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{1}{3^{2} - 3} \cdot \frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Langkah 2.1.2

Kalikan $\frac{1}{3^{2} - 3}$ dengan $\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Langkah 2.1.3

Kalikan $\frac{1}{4^{2} - 3}$ dengan $\frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{4^{2} - 3} \cdot \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Langkah 2.1.4

Kalikan $\frac{1}{4^{2} - 3}$ dengan $\frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Langkah 2.1.5

Kalikan $\frac{1}{5^{2} - 3}$ dengan $\frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{5^{2} - 3} \cdot \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$

Langkah 2.1.6

Kalikan $\frac{1}{5^{2} - 3}$ dengan $\frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

Langkah 2.1.7

Susun kembali faktor-faktor dari $(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

Langkah 2.1.8

Susun kembali faktor-faktor dari $(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

Langkah 2.1.9

Susun kembali faktor-faktor dari $(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{(16 - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.3.2

Kurangi $3$ dengan $16$ .

$\frac{13 (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.3.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{13 (25 - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.3.4

Kurangi $3$ dengan $25$ .

$\frac{13 \cdot 22 + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.3.5

Kalikan $13$ dengan $22$ .

$\frac{286 + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.3.6

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{286 + (9 - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.3.7

Kurangi $3$ dengan $9$ .

$\frac{286 + 6 (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.3.8

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{286 + 6 (25 - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.3.9

Kurangi $3$ dengan $25$ .

$\frac{286 + 6 \cdot 22 + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.3.10

Kalikan $6$ dengan $22$ .

$\frac{286 + 132 + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.3.11

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{286 + 132 + (9 - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.3.12

Kurangi $3$ dengan $9$ .

$\frac{286 + 132 + 6 (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.3.13

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{286 + 132 + 6 (16 - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.3.14

Kurangi $3$ dengan $16$ .

$\frac{286 + 132 + 6 \cdot 13}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.3.15

Kalikan $6$ dengan $13$ .

$\frac{286 + 132 + 78}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.4

Tambahkan $286$ dan $132$ .

$\frac{418 + 78}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.5

Tambahkan $418$ dan $78$ .

$\frac{496}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{496}{(9 - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.6.2

Kurangi $3$ dengan $9$ .

$\frac{496}{6 (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.6.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{496}{6 (16 - 3) (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.6.4

Kurangi $3$ dengan $16$ .

$\frac{496}{6 \cdot 13 (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.6.5

Kalikan $6$ dengan $13$ .

$\frac{496}{78 (5^{2} - 3)}$

Langkah 2.6.6

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{496}{78 (25 - 3)}$

Langkah 2.6.7

Kurangi $3$ dengan $25$ .

$\frac{496}{78 \cdot 22}$

Langkah 2.7

Kalikan $78$ dengan $22$ .

$\frac{496}{1716}$

Langkah 2.8

Hapus faktor persekutuan dari $496$ dan $1716$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Faktorkan $4$ dari $496$ .

$\frac{4 (124)}{1716}$

Langkah 2.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Faktorkan $4$ dari $1716$ .

$\frac{4 \cdot 124}{4 \cdot 429}$

Langkah 2.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 \cdot 124}{4 \cdot 429}$

Langkah 2.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{124}{429}$

Langkah 3

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{124}{429}$

Bentuk Desimal:

$0.\overline{289044}$