Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{\sin (x) + y}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{\sin (x) + y}$ sebagai ${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = \sin (x) + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\sin (x) + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Langkah 4.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\sin (x) + y$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Langkah 4.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Langkah 4.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Langkah 4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Langkah 4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Langkah 4.5.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Langkah 4.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Langkah 4.6.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Langkah 4.6.2.2

Pindahkan ${(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Langkah 4.6.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (x) + y$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 4.7

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 4.8

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x) + y')$

Langkah 4.9

Susun kembali faktor-faktor dari $\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x) + y')$ .

$(\cos (x) + y') \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = (\cos (x) + y') (\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 6

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Sederhanakan $(\cos (x) + y') \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y' = \cos (x) \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} + y' \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.1.1.2

Gabungkan $\cos (x)$ dan $\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} + y' \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.1.1.3

Gabungkan $y'$ dan $\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.2

Kurangkan $\frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y' - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, 2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}, 2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.2

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 6.3.3

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 6.3.4

Karena $2$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $2$ .

$2$ adalah bilangan prima

Langkah 6.3.5

KPK dari $1, 2, 2$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$2$

Langkah 6.3.6

Faktor untuk $\sin (x) + y$ adalah $\sin (x) + y$ itu sendiri.

$(\sin (x) + y) = \sin (x) + y$

$(\sin (x) + y)$ terjadi $1$ kali.

Langkah 6.3.7

KPK dari ${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}, {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor dengan frekuensi terbanyak yang muncul dalam kedua pernyataan tersebut.

${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.3.8

Kelipatan Persekutuan Terkecil $LCM$ dari beberapa bilangan adalah bilangan terkecil yang menjadi faktor.

$2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.4

Kalikan setiap suku pada $y' - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan setiap suku dalam $y' - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ ke dalam pembilangnya.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.4.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Langkah 6.4.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = 2 \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = 2 \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.4.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \frac{\cos (x)}{{(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari ${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \frac{\cos (x)}{{(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 6.4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \cos (x)$

Langkah 6.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Faktorkan $y'$ dari $2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.1

Faktorkan $y'$ dari $2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) - y' = \cos (x)$

Langkah 6.5.1.2

Faktorkan $y'$ dari $- y'$ .

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1 = \cos (x)$

Langkah 6.5.1.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1) = \cos (x)$

Langkah 6.5.2

Bagi setiap suku pada $y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1) = \cos (x)$ dengan $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Bagilah setiap suku di $y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1) = \cos (x)$ dengan $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$

Langkah 6.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$

Langkah 6.5.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$

Langkah 7

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$