Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{\frac{x}{x + 8}}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{\frac{x}{x + 8}}$ sebagai ${(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 3

Turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $y'$ .

$y'$

Langkah 4

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = \frac{x}{x + 8}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{x + 8}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Langkah 4.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{x + 8}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Langkah 4.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Langkah 4.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Langkah 4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Langkah 4.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Langkah 4.5.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Langkah 4.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 8}]$

Langkah 4.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x + 8$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 8) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 8]}{{(x + 8)}^{2}}$

Langkah 4.8

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(x + 8) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 8]}{{(x + 8)}^{2}}$

Langkah 4.8.2

Kalikan $x + 8$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x \frac{d}{d x} [x + 8]}{{(x + 8)}^{2}}$

Langkah 4.8.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 8$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(x + 8)}^{2}}$

Langkah 4.8.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x (1 + \frac{d}{d x} [8])}{{(x + 8)}^{2}}$

Langkah 4.8.5

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x (1 + 0)}{{(x + 8)}^{2}}$

Langkah 4.8.6

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.6.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x \cdot 1}{{(x + 8)}^{2}}$

Langkah 4.8.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{x + 8 - x}{{(x + 8)}^{2}}$

Langkah 4.8.6.3

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{0 + 8}{{(x + 8)}^{2}}$

Langkah 4.8.6.4

Tambahkan $0$ dan $8$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}} \frac{8}{{(x + 8)}^{2}}$

Langkah 4.8.6.5

Kalikan $\frac{8}{{(x + 8)}^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{8}{{(x + 8)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 4.8.6.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(x + 8)}^{2}$ .

$\frac{8}{2 \cdot {(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 4.8.6.7

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.6.7.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 {(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 4.8.6.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.6.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 {(x + 8)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 ({(x + 8)}^{2})} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 4.8.6.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 4}{2 {(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 4.8.6.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2}} {(\frac{x}{x + 8})}^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 4.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.1

Mengubah tanda eksponen dengan menulis kembali bilangan pokok sebagai kebalikannya.

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2}} {(\frac{x + 8}{x})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.9.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{x + 8}{x}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.9.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.3.1

Kalikan $\frac{4}{{(x + 8)}^{2}}$ dengan $\frac{{(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 {(x + 8)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 8)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.9.3.2

Pindahkan ${(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{2} x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{- \frac{1}{2}}}$

Langkah 4.9.3.3

Kalikan ${(x + 8)}^{2}$ dengan ${(x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.3.3.1

Pindahkan ${(x + 8)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 8)}^{2} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.9.3.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2} + 2} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.9.3.3.3

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.9.3.3.4

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.9.3.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4}{{(x + 8)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.9.3.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.9.3.3.6.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.9.3.3.6.2

Tambahkan $- 1$ dan $4$ .

$\frac{4}{{(x + 8)}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.9.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$y' = \frac{4}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{\frac{1}{2}} {(x + 8)}^{\frac{3}{2}}}$